Đề thi học sinh giỏi MTCT lớp 12 THPT tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2022 2023 

Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số $y=x^3+a x^2+b x+c$ với $a, b, c$ là các số thực. Xác định $a, b, c$ biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $A(3 ; 0)$ và có điểm cực đại là $B(-1 ; 2)$.
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số $y=x^4-2 m x^2+m-3$ có ba điểm cực trị $A, B, C$ với $A$ là điểm cực đại sao cho khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $A C$ bằng $\sqrt{2}$. Câu 3: (2 diểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=\sqrt{7 y-3 x+8} \\ x^2-x y+y^2=4\end{array}\right.$.
Câu 4: (3 diểm)
Người ta muốn sản xuất các thùng gỗ dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và thể tích chửa là $108 \mathrm{~cm}^3$. Hỏi độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là bao nhiêu centimet để tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (3 điểm) ا
Để có tiền cho An học đại học, khi An vừa tròn một tuổi, mẹ An bắt đầu gửi tiền tiết kiệm ở ngân hàng theo hình thức: Vào ngày sinh nhật hằng năm của $\mathrm{An}$, mẹ An gưi 15 triệu đồng theo kỉ hạn I năm vả tiền lái hằng năm được cộng vào tiền gốc. Khi An tròn 18 tuổi, mẹ An rút hết số tiền ở ngân hàng. Hỏi số tiền mẹ An rút là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng là $6,25 \% /$ năm và không thay đổi trong thời gian gửi. (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Câu 6: (3 điểm) -
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B, A B=3 a$, $A D=4 a$, đường thắng $A C$ vuông góc với mặt phẳng (SBD), đồng thời tam giác $S B D$ vuông cân tại $S$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ theo $a$.
Câu 7: (2 diểm)
Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Gọi $M, N$ lần lượt là tâm của các hình chữ nhật $A C C^{\prime} A^{\prime}$ và $B C C^{\prime} B^{\prime}, G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Đặt $V, V^{\prime}$ lần lượt là thể tích khối lăng trụ $A B C$. $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và thể tích khối tứ diện $A M N G$. Tính tỉ số $\frac{V^{\prime}}{V}$.
Câu 8: (3 điểm) 
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ dược xác định bởi công thức $\left\{\begin{array}{l}u_1=1 ; u_2=3 \\ u_n=3 u_{n-1}-u_{n-2}, n \geq 3\end{array}\right.$.
a) Xác định số dư của của phép chia $u_1+u_2+\ldots+u_{30}$ cho 11 .
b) Từ $u_1$ đến $u_{100}$ có bao nhiêu số hạng chia hết cho 11 ?

Đề thi học sinh giỏi MTCT lớp 12 THPT tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2022 2023 

Hướng dẫn đáp án: 

Câu 1:

Ta có $y^{\prime}=3 x^2+2 a x+b$.
Do hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ nên ta có phương trình $2 a-b=3$.
Ngoài ra đồ thị hàm số qua $A, B$ nên ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}9 a+3 b+c=-27 \\ a-b+c=3\end{array}\right.$.
Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}2 a-b=3 \\ 9 a+3 b+c=-27 \\ a-b+c=3\end{array} \Leftrightarrow a=-\frac{9}{8} ; b=-\frac{21}{4} ; c=-\frac{9}{8}\right.$.
Thử lại, ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $a=-\frac{9}{8} ; b=-\frac{21}{4} ; c=-\frac{9}{8}$ là các số cần tìm.

Câu 2: 

Ta có $y^{\prime}=4 x^3-4 m x,\left(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 4 x^3-4 m x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x^2=m\end{array}\right)\right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$.
Khi đó $A(0 ; m-3), B\left(\sqrt{m} ;-m^2+m-3\right)$ và $C\left(-\sqrt{m} ;-m^2+m-3\right)$.
Ta có tam giác $A B C$ cân tại $A$, gọi $A H$ là đường cao.
Suy ra $A H=m^2$ và $H C=\sqrt{m}$.
Mà $d(B ; A C)=2 d(H ; A C)$, nên $d(H ; A C)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Hay ta có phương trình $\frac{1}{m^4}+\frac{1}{m}=2$ với $m>0$.
Do đó $m=1$ là giá trị duy nhất cần tìm.

Câu 3: 

Viết (1) dưới dạng: $\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=\sqrt{7(y+2)-3(x+2)}$, (*)
+ Nếu $y+2=0$ : Khi đó từ (1) suy ra $x=-2 ; y=-2$, thứ vào phương trình (2)

$+$ Nếu $y+2>0$ : Khi đó (*) $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+2}{y+2}+1}=\sqrt{7-3 \frac{x+2}{y+2}}$. Đặt $t=\sqrt{\frac{x+2}{y+2}}, t \geq 0$, khi đó ta có phương trình: $t+1=\sqrt{7-3 t^2}$. Suy ra $t=1$ hay $x=y$.
Thay vào phương trình (2) ta được $x=y=2$.
Vây hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là $(x ; y)=(-2 ;-2),(2 ; 2)$.

Câu 4:

Gọi $x,(x>0)$ là cạnh hình vuông của đáy. Khi đó $S_d=x^2$.
Hay chiều cao của hình hộp là $\frac{108}{x^2}$.
Suy ra $S_{\text {xy }}=4 x \cdot \frac{108}{x^2}=4 \cdot \frac{108}{x}$ và tổng diện tích cần tìm là $S=4 \cdot \frac{108}{x}+x^2$.
Đặt $f(x)=\frac{432}{x}+x^2$ với $x \in(0 ;+\infty)$, suy ra $f^{\prime}(x)=-\frac{432}{x^2}+2 x$.
$f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow-\frac{432}{x^2}+2 x=0 \Leftrightarrow x=6$.
Hay giá tri nhỏ nhất của hàm số đạt được khi $x=6$.

Câu 5: 

Đặt $A=15000000, r=6,25 \%$ và $x_n$ là số tiền mà mẹ An có được tại ngân hàng khi An vừa tròn $n+1$ tuổi.
Ta có $x_1=A(1+r), x_2=A(1+r)^2+A(1+r), \ldots$
Vậy khi An vừa tròn 18 tuổi, mẹ An rút được $x_{17}=459714000$ đồng.

Câu 6: 

Gọi O là giao điểm của $A C$ và $B D$.
Ta có tam giác $B A D$ vuông tại $A$ và $A O$ là đường cao $A O=\frac{12 a}{5}$. Đồng thời $B O=\frac{9 a}{5} ; D O=\frac{16 a}{5}$ và $B D=5 a$.
Do tam giác $S B D$ vuông cân tại $S$ nên $S_{S B D}=\frac{B D^2}{4}=\frac{25 a^2}{4}, \quad=A D=S E ; A B$; Ngoài ra tam giác $A O D$ đồng dạng với tam giác $C O B$. Nên $C O=\frac{27 a}{20}$ và $A C=\frac{15 a}{4}$.
Vậy $V_{S \cdot A B C D}=\frac{1}{3} A C \cdot S_{S A D}=\frac{125 a^3}{16}$.

Câu 7: 

Ta có $V^{\prime}=V_{A M A G}=\frac{1}{2} V_{A C^{\prime} N G}$
Mà $V_{A C^{\prime} N G}=V_{C \cdot A N G}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} V_{C: A B E}=\frac{1}{3} V_{C \cdot A B E}$ với $E$ là trung điểm $A^{\prime} B^{\prime}$.
Ngoài ra $V_{C: A B E}=V_{E \cdot A B C}=\frac{1}{3} V\left(\right.$ do $C C^{\prime}$ song song với $(A B E)$ ).
Vậy $V^{\prime}=\frac{1}{18} V$ hay $\frac{V^{\prime}}{V}=\frac{1}{18}$.

Câu 8: 

a) Các số dư khi chia $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7$ cho 11 lần lượt là $1,3,8,10,0,1,3$
Suy ra dãy gồm các số dư của $u_n$ khi chia cho 11 lập thành một dãy tuần hoàn chu kỳ 5 .
Hay $u_1+u_2+\ldots+u_{30} \equiv 6\left(u_1+u_2+\ldots+u_5\right) \equiv 0(\bmod 11)$.
b) Từ $u_1$ đến $u_{100}$ có bao số hạng chia hết cho 11 ?
Từ câu a) suy ra có đúng 20 số hạng chia hết cho 11 .