ĐỀ THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12

NĂM 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ

SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU: GIÁO VIÊN NGUYỄN ĐẮC TUẤN

DAYHOCTOAN.VN

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số $y=F(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ với $a,b,c$ là các số thực và đa thức $f(x)=(x+1)\left(2 x^{2}-7 x+5\right)$. Biết rằng khi chia $F(x)$ cho đa thức $f(x)$ thì được đa thức dư $r(x)=2 x^{2}+3 x-2$

a) Tìm biểu thức hàm số $y=F(x)$.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=F\left( x \right)$ tại giao điểm của đồ thị đó với trục tung.

Câu 2. (3,0 điểm) Cho $P\left( x \right)$ là đa thức bậc $4$ thỏa mãn: $P\left( x+1 \right)-P\left( x \right)=\left( x+1 \right)x\left( x-1 \right)$và $P\left( 0 \right)=1.$ Tìm đa thức $P\left( x \right)$ và tính giá trị đúng của $P\left( 2021 \right).$

Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: $\left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}=2020;{{u}_{2}}=2021. \\  & {{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}-{{u}_{n-2}}+4 \\ \end{align} \right.\left( \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}},n\ge 3 \right).$ Gọi ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của dãy $\left( {{u}_{n}} \right).$ Tính giá trị đúng của ${{u}_{50}}$ và giá trị đúng của ${{S}_{50}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{50}}$ của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right).$

Câu 4. (2,0 điểm) Tìm các nghiệm đúng (nếu có) hoặc gần đúng của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x^{3}+y^{3}-2 x y=x+y \\x^{2}+y^{2}+x y=2-x-y\end{array}\right.$

Câu 5. (3,0 điểm) Tìm các nghiệm đúng (nếu có) hoặc gần đúng của phương trình sau:

$8{{x}^{2}}+3x+\left( 4{{x}^{2}}+x-2 \right)\sqrt{x+4}=4.$

Câu 6. (2,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng hoặc nghiệm đúng (nếu có) theo độ, phút, giây của phương trình: $5\left( \sin x+\cos x \right)-2{{\cos }^{2}}2x=3.$

Câu 7. (2,0 điểm)

Ông $A$ gửi tiết kiệm với kỳ hạn $30$ năm tại một ngân hàng vào năm $1990$. Ông $A$ đã đăng ký gửi tiết kiệm với các điều khoản như sau:

-Trong $15$ năm đầu tiên, mức lãi suất là $19%$ trên một năm.

-Kể từ năm thứ $16$ trở đi mức lãi suất năm sau tăng $1%$ so với mức lãi suất của một năm trước liền kề.

Năm 2020, đến hạn ông A lần đầu tiên đến rút tiền thì thấy số tiền trong tài khoản là  2.253.597.760 đồng. Hỏi số tiền ban đầu ông $A$đã gửi tiết kiệm là bao nhiêu?

Câu 8. (3,0 điểm)

Cho hình chóp $S.ABC$ có $S A \perp(A B C)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, cạnh $A B=20,21 \mathrm{~cm},$ góc giữa $SB$ và mặt đáy $(A B C)$ bằng $40^{\circ} .$

a)  Tính thể tích khối chóp $S.ABC.$

b)  Gọi $H$ là trong tâm của tam giác $ABC,$ tính khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(S B C)$.

---HẾT---