Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay lớp 11 THPT Thừa Thiên Huế năm học 2010 2011

Nội dung đề thi:

Bài 1. (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: 

\(\cos4x+\cos3x+23\cos^3x-79\cos^2x+23\cos{x}+20=0\)

Bài 2. (5 điểm) 

a) Chứng tỏ rằng elip (E): \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) là hợp của hai đồ thị của hai hàm số \(y=f_1(x)\) và \(y=f_2(x).\) Xác định hai hàm số đó.

b) Tính gần đúng tọa độ giao điểm của đường tròn (C) tâm I(5;3), bán kính R = 2 với elip (E): \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)

Bài 3. (5 điểm) Cho hai parabol: \((P_1):y=x^2-2x+5;(P_2):y=-x^2+4x-3.\)

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ đỉnh A của \((P_1)\) đến một điểm bất kỳ của \((P_2).\)

Bài 4. (5 điểm) Cho dãy số \(\{u_n\}\) với \(u_1=1;u_2=1+\frac{3}{2!};u_3=1+\frac{3}{2!}-\frac{5}{3!};u_4=1+\frac{3}{2!}-\frac{5}{3!}-\frac{7}{4!};...\)

\(u_n=1+\frac{3}{2!}-\frac{5}{3!}-\frac{7}{4!}+\frac{9}{5!}+\frac{11}{6!}+...\) (n số hạng).

Tìm \(n_0\) để với mọi \(n\geq n_0\) thì \(u_n\) có phần nguyên và chín chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi. Tính giá trị \(u_{2010}.\) Viết quy trình giải.

Bài 5. (5 điểm) Cho dãy số \(\{u_n\}\) với \(u_1=1;u_2=\sqrt{2};u_3=\sqrt{2+\sqrt[3]{3}}; u_4=\sqrt{2+\sqrt[3]{{3}+\sqrt[4]{4}}};\) \(u_5=\sqrt{2+\sqrt[3]{{3}+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{5}}}};...\)

Tính giá trị của \(u_7;u_8;u_9;u_{15};u_{20};u_{2010}.\) Kết quả lấy đủ 10 chữ số. Nêu quy trình bấm phím liên tục để tính \(u_n(n>7).\)

Bài 6. (5 điểm) 

Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người):

Bài 7. (5 điểm) Cho biểu thức \(P(x)=(2x+\frac{1}{x})+(2x+\frac{1}{x})^2+(2x+\frac{1}{x})^3+...+(2x+\frac{1}{x})^{20}\)

Tìm hệ số chính xác của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn biểu thức \(P(x).\)

Bài 8. (5 điểm) 

Một máy bay đang bay với vận tốc v = 256km/h theo phương nằm ngang. Tính xem máy bay đang ở độ cao nào, biết rằng khi đang ở vị trí \(O_1\) thì phi công nhìn thấy một vật cố định A dưới mặt đất theo góc \(\alpha_1=25^038',28"\) so với phương thẳng đứng và sau đó 15 giây, máy bay đến vị trí \(O_2\) phi công lại nhìn thấy vật cố định A theo góc \(\alpha_2=14^055',53"\) so với phương thẳng đứng?

Bài 9. (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = AB = 4a; CD =a = 2,56 dm; mặt bên SAD vuông góc với mặt đáy và là tam giác cân tại S; góc giữa mặt bên SBC với mặt đáy là \(72^0.\)

a) Tính gần đúng thể tích của hình chóp S.ABCD.

b) Tính gần đúng góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên SAD và SBC. 

Bài 10. (5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I, biết A(-4;1), B(-1;-3), D(1;4) và cạnh CD đi qua điểm E(3;0).

a) Tính gần đúng tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.

b) Tính diện tích tứ giác ABCD.

                                                                               ---Hết--- 

ĐÁP SỐ:

Bài 1. \(x_1\approx\pm112^001',28"+k360^;x_2\approx\pm 39^043',21"+k360^0\)

Bài 2. 

a) \(y_1=f_1(x)=\frac{3}{5}\sqrt{25^2-x^2};y_2=f_2(x)=-\frac{3}{5}\sqrt{25^2-x^2}\)

b)A(3,10868;2,34968);B(4,7006;1,02253)

Bài 3. 3,13967.

Bài 4. \(n\geq n_0=13\) thì \(u_n\approx1,46277902\)

\(u_{2010}\approx1,462377902\) 

\(u_7=1,91163911;u_8=1,911639214;u_9=1,911639216\)

\(u_{15}=u_{20}=1,911639216;u_{2010}=1,911639216\)

Bài 6. 

a)

1976 -1980: 2,2434%;

1980-1990: 2,0822%;

1990-2000: 1,6344%;

2000-2010: 1,3109%

b) \(x\approx0,1182\)%

Bài 7. \(2C_2^1+2^2C_4^2+2^3C_6^3+...+2^{10}C_{20}^{10}=\)217886108.

Bài 8. 4,99993 km \(\approx 5000m\)

Bài 9.a) \(V_{S.ABCD}=8a^3\tan{\alpha}\)

b)  \(70^005',03"\)

Bài 10. 28,6838.