Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay lớp 12 Thừa Thiên Huế năm 2008 2009

Nội dung đề thi: 

Bài 1. (5 điểm) Cho hàm số \(f(x)=\frac{2^{x}}{6\log_3x+\sqrt{3}}.\)

Tính tổng \(S=f(\sqrt{1})+f(\sqrt{2})+f(\sqrt{3})+...+f(\sqrt{100})\)

Bài 2. (5 điểm) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)=\frac{2x^2+5}{x^2+3x+4}.\)

Bài 3. (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=3(\sin{x}+\cos{x})-2\sqrt{3}\cos^22x+(3+\sqrt{3})\)

Bài 4. (5 điểm) Cho hai dãy số \(u_n,v_n\) có số hạng tổng quát là:

\(u_n=\frac{(5+2\sqrt{3})^n-(5-2\sqrt{3})^n}{4\sqrt{3}};v_n=\frac{(7+2\sqrt{5})^n-(7-2\sqrt{5})^n}{4\sqrt{5}}\) \((n\in\mathbb{N^*})\)

Xét dãy số \(z_n=2u_n+3v_n\)

a) Tính các giá trị chính xác của \(u_1,u_2,u_3,u_4;v_1,v_2,v_3,v_4.\)

b) Lập các công thức truy hồi tính \(u_{n+2}\) theo \(u_{n+1}\) và \(u_n;\) tính \(v_{n+2}\) theo \(v_{n+1}\) và \(v_n.\)

c) Từ hai công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính \(u_{n+2},v_{n+2}\) và \(z_{n+2}\) theo \(u_{n+1},u_n,v_{n+1},v_n(n=1,2,3,...).\) Ghi lại giá trị chính xác của: \(z_3,z_5,z_8,z_{10}.\)

 Bài 5. (5 điểm) Cho đa thức \(g(x)=8x^3-18x^2+x+6.\)

a) Tìm các hệ số a, b, c của hàm số bậc ba \(y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c,\) biết khi chia đa thức \(f(x)\)  cho g(x) thì được đa thức dư là \(r(x)=8x^2+4x+5.\)

b) Với các giá trị a, b, c vừa tìm được, tính giá trị gần đúng hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm B(0;3).

Bài 6. (5 điểm) 

Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.

Bài 7. (5 điểm)

Tìm x biết \(C_{20}^{2x}+A_{2x+1}^x-P_{x-3}-x^8-x^5=33479022340\)  với  \(P_n\) là số hoán vị của n phần tử, \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập k của n phần tử,  \(C_n^k\)là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^6,x^{17},x^{28}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \((\frac{1}{x^2}+\sqrt[3]{x^5})^{30}\)

Bài 8. (5 điểm) 

a) Tìm các số \(\overline{aabb}\) sao cho \(\overline{aabb}=\overline{(a+1)(a+1)} \times \overline{(b-1)(b-1)}.\) Nêu quy trình bấm phím để được kết quả.

b) Tìm số tự nhiên   nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: \(n^3=\overline{777...777}.\) Nêu sơ lược cách giải.

Bài 9. (5 điểm) 

Cho 3 đường thẳng \(d_1:3x-y+5=0;d_2:2x-3y-6=0;d_3:2x+y-3=0.\) Hai đường thẳng  \((d_1),(d_2)\) cắt nhau tại A; hai đường thẳng \((d_2),(d_3)\) cắt nhau tại B; hai đường thẳng \((d_3), (d_1) \) cắt nhau tại C.

a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số).

b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC và tọa độ giao điểm D của tia phân giác đó với cạnh BC.

c) Tính gần đúng diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân.

Bài 10. (5 điểm) Cho hình chóp ngũ giác đều có cạnh đáy  a =  6,74 cm, cạnh bên  b = 9,44 cm

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.

b) Tính gần đúng số đo (độ, phút, giây) của góc hợp bởi mỗi mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

c) Tìm thể tích phần ở giữa hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp hình chóp đều đã cho.

                                                                  ---Hết---

ĐÁP SỐ:

Bài 1. 52,3967

Bài 2. 6,5823

Bài 3. GTLN: 8,9747; GTNN: -1,8798

Bài 4. \(u_{n+2}=10u_{n+1}-13u_n;v_{n+2}=14v_{n+1}-29v_n\)

\(z_3=675;z_5=79153;z_8=108234392;z_9=1218810909; z_{10}=13788770710\)

Bài 5. a) \(a=\frac{23}{4};b=\frac{33}{8};c=\frac{23}{4}\)

\(f(x)=x^3+\frac{23}{4}x^2+\frac{33}{8}x+\frac{23}{4}\)

b) \(k_1\approx-5,1287;k_2\approx-3,2712;k_3\approx12,5093\)

Bài 6. 15 tháng.

Bài 7. 

a) x= 9

b)  Hệ số của \(x^{28}\) là: \(C_{30}^6=593775\)

Hệ số của \(x^{17}\) là: \(C_{30}^9=14307150\)

Hệ số của \(x^{6}\) là: \(C_{30}^{12}=86493225\)

Bài 8. 

a) 3388

b) \(n=426753;n^3=426753^3=77719455348459777\)

Bài 9. 

a) \(A(-3;-4),B(\frac{15}{8};-\frac{3}{4});C(-\frac{2}{5};\frac{19}{5})\)

b) D(0,9284;1,1432)

c) S  = 46,44

Bài 10. a) \(V_{k.chop}=195,3788cm^3\)

b) \(\alpha\approx58^015'48"\)