Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay lớp 12 THPT  Bộ giáo dục năm 2013

Đề thi này gồm 6 bài mỗi bài 5 điểm, thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Nội dung đề:

Bài 1. (5 điểm) Cho hàm số \(f(x)=e^{3x^2+\sqrt{x}}.\sin4x+\log_3(\sin{x}+2).\)

1) Tính giá trị của hàm số khi \(x=\frac{\pi}{12};\)

2) Đường thẳng \(y=a x+b\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x=\frac{\pi}{12}.\) Tìm giá trị của a và b.

Bài 2. (5 điểm)

1) Cho một góc vuông và một đường tròn cố định (gọi là đường tròn thứ nhất) có tâm nằm trên đường phân giác của góc vuông đồng thời tiếp xúc với hai cạnh của góc vuông. Vẽ đường tròn thứ hai, có tâm thuộc đường phân giác của góc vuông, bán kính nhỏ hơn bán kính của đường tròn thứ nhất, tiếp xúc với hai cạnh góc vuông và tiếp xúc ngoài với đường tròn thứ nhất. Tiếp tục làm như trên ta được một dãy các đường tròn có bán kính giảm dần. Tính tỉ số diện tích của hình tròn thứ nhất với tổng diện tích của tất cả các hình tròn khác trong dãy.

2) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn bán kính R = 2012,2013 cm. Tính độ dài lớn nhất của đường cao BH. 

Bài 3. (5 điểm) 

1) Tìm nghiệm của hệ phương trình: \(\begin{cases} 2.3^{x+1}+2\log_5y^3-8\cos^2z=3 & \\ 9.3^{x-1}+9.\log_5\sqrt[3]y+18\cos^2z=7 & \\ 8.3^x-24\log_5y+4\cos^2z=-3 \end{cases}\)

2) Giải phương trình: \(2012.2013^{2(\log_{2013}x-1)}=x^{1+\log_{2012}\frac{2013}{x^2}}.\)

Bài 4. (5 điểm) Cho hàm số \(f(x)=2.\frac{\sqrt{\log(x^2+1)+3}}{2^{\log{x}}+1}.\)

1) Tìm giá trị của f(x) khi x = 1; x= 2; x=3 và tính \(f(1)+f(2)+f(3);\)

2) Viết quy trình bấm phím trên máy tính và giá trị của tổng \(S=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(100).\)

Bài 5. (5 điểm) Cho đa thức \(P(x)=(2x+3)+(2x+3)^2+(2x+3)^3+...+(2x+3)^{15}.\)

1) Tính giá trị của P(x) khi \(x=-\frac{2}{3};\)

2) Người ta khai triển và rút gọn đa thức P(x) được \(P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n,\) hãy tìm giá trị đúng của hệ số của số hạng chứa \(x^8.\)

Bài 6. (5 điểm) Một loại đá quý có dạng khối lập phương, cạnh bằng 2 cm. Để làm đồ mỹ nghệ, người ta cắt 4 góc của khối lập phương sao cho các mặt vuông góc với đường chéo của khối lập phương, tạo thành một khối mới có 14 mặt và diện tích của mỗi mặt là bằng nhau. Tìm diện tích của mỗi mặt.

                                                                         ---HẾT---

ĐÁP SỐ:

Bài 1.

Câu 1. 2,516059996

Câu 2. a=9,0080; b=0,1578

Bài 2. 

Câu 1. 32,9706

Câu 2. 3097,986566

Bài 3. 

Câu 1. x=-0,6309; y=1,7100; z= \(\pm1,0472+k.3,1416(k\in\mathbb{Z})\)

Câu 2. x = 216,8285; x= 0,0046

Bài 4. 

Câu 1. f(1)=1,8169; f(2)=1,7233; f(3)=1,6723; f(1)+f(2)+f(3) \(\approx5,2125\)

Câu 2. 123,9469

Bài 5.

Câu 1.\(P(-\frac{2}{3})=5314,5562\)

Câu 2. a = 4254785536

Bài 6. 1,1758 \(cm^2\)