Đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay khu vực lớp 12 THPT năm 2016 có đáp số

Bài 1. (10 điểm) Cho hàm số \(y=\frac{x^2+9x-1}{3\sqrt{4x^2-8x-1}}\)

a) Tính \(f(3+6\sqrt[3]{5}).\)

b) Tìm a, b để đường thẳng \(y=ax+b\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên trên tại điểm có hoành độ \(x=3+6\sqrt[3]{5}\)

Câu 2. Cho hàm số \(y=\frac{2x^2-5x+3}{3x^2-x-1}.\) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 2. (10 điểm) 

Câu 1. Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) trong khai triển của biểu thức: \(A=[(\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2})^2-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}]^8\)

Câu 2. Cho dãy số \(\{u_n\}\) với \(u_1=\sqrt{\frac{1}{2}};u_2=\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{3}{6}}\) \(u_3=\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{3}{6}}+\sqrt{\frac{5}{12}};u_4=\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{3}{6}}+\sqrt{\frac{5}{12}}-\sqrt{\frac{7}{20}};\)

\(u_n=\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{3}{6}}+\sqrt{\frac{5}{12}}-\sqrt{\frac{7}{20}}+...\) (n số hạng). Viết quy trình bấm máy tính \(u_n\) và tính giá trị \(u_9;u_{18}.\)

Bài 3. (10 điểm)

Câu 1. Qua một điểm nằm trong tam giác ABC kẻ 3 đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. Các đường thẳng này chia tam giác thành 6 phần, trong đó ba tam giác với các diện tích là \(S_1=30,32016cm^2,S_2=31,32016cm^2,S_3=71,321945cm^2.\) Tính diện tích của tam giác ABC.

Câu 2. Cho bát diện đều có độ dài của một cạnh là \(3\sqrt{2016}cm.\) Tính diện tích xung quanh, thể tích của khối bát diện đều. Tính tỉ số giữa thể tích của khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện đều đó.

Bài 4. (10 điểm) 

Câu 1. Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức có cùng bậc khác 0, thỏa mãn: \(P(Q(x))=(P(x)+Q(x))^2.\)

Tính giá trị của biểu thức \(A=\sqrt{P(200)-Q(300)},\) biết rằng đa thức P(x) có hệ số cao nhất bằng 1, đa thức Q(x) có hệ số cao nhất khác - 1 và hệ số tự do bằng 0.

Câu 2. Trong một ngân hàng đề thi có 10 câu hỏi loại khó, 11 câu hỏi loại trung bình và 11 câu hỏi loại dễ. Chọn ngẫu nhiên một đề thi gồm 6 câu hỏi. Xác suất để chọn được 1 đề thi có đủ cả 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) là bao nhiêu phần trăm?

Bài 5. (10 điểm)

Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thang cân với đáy nhỏ \(Ab=17\sqrt{3},\) đáy lớn \(CD=19\sqrt{7}+6\) và chiều cao của lăng trụ là  \(h=12\sqrt{13}.\) Biết rằng lăng trụ đã cho có một hình trụ nội tiếp. Hãy tính thể tích của khối tạo bởi phần trong của lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và phần ngoài hình trụ nội tiếp lăng trụ đó.

Câu 2. Có 2 khối trụ bằng sắt xuyên qua nhau (như hình vẽ).

Khối lăng trụ đứng có bán kính đáy là R = 10cm, khối trụ ngang có bán kính đáy là r = 6cm. Biết rằng trục của hai khối trụ vuông góc với nhau và cắt nhau. Tính thể tích phần chung của 2 khối trụ.

                                                                                                  ---Hết---

Đáp số:

Bài 1.a)  \(4,0157\)

b) \(a=f'(3+6\sqrt[3]{5})\approx0,154595617\)

\(b=f(3+6\sqrt[3]{5})-f'(3+6\sqrt[3]{5}).(3+6\sqrt[3]{5})\approx1,965810797\)

Bài 2.

Câu 1. 87,3389

Câu 2. \(u_9\approx0,5498;u_{18}\approx0,1797\)

Bài 3.

Câu 1. \(S_{ABC}=382,1262cm^2\)

Câu 2. \(S_{xq}=62852,6597cm^2\)

\(V_{bd}=1152108,283cm^2\)

Bài 4. Câu 1. A= 291,5476; A=290,,3463

Câu 2. \(P(A)=79,3938\)

Bài 5. 

Câu 1. \(v_{htru}=h\pi.R^2=\frac{\pi.h.ab}{4}=19175,2274\)

Câu 2. 2154,96262 

Bài 3. \(A=291,5476;A=290,3463\)