Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp lớp 10 chương trình mới 2018
dayhoctoan .vn ,Đăng ngày: 2023-03-28
Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé

Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp lớp 10 chương trình mới 2018

Bài tập: 

Bài 16. Trong hình sau đây, mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành 6 đoạn thẳng bằng nhau bởi 5 điểm nằm bên trong cùng với hai đầu mút. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các chấm điểm ở trong hình:

Tam giác

Hướng dẫn: 

 Tổng số chấm đểm trong hình là 18 . Mỗi tam giác cần đếm được tạo ra bằng cách lấy ra 3 điểm không thẳng hàng. Để đêm số các tam giác ta lấy số các cách lấy ra 3 điểm từ 18 điểm trừ đi số các cách lấy ra 3 điểm thẳng hàng từ 18 điểm.
Số các cách chọn 3 điểm từ 18 điểm là:
$$
\left.C_{18}^3=\frac{18 !}{3 ! 15 !}=816 \text { (cách }\right)
$$
Ba điểm thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một cạnh. Số điềm của mỗi cạnh là 7. Do đó, số cách lấy ra 3 điểm trên mổi cạnh là:
$$
\left.C_7^3=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}=35 \text { (cách }\right)
$$
Như vậy, theo quy tắc cộng thì số các cách chọn ra 3 điềm thẳng hàng từ 18 điểm là:
$$
35+35+35=105 \text { (cách) }
$$
Suy ra số các tam giác cần tìm là:
$$
816-105=711 \text { (tam giác). }
$$

Một số bài tập khác: 

Bài 2. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho đứng ngoài cùng bên trái và đứng ngoài cùng bên phải là các bạn nam?

Hướng dẫn giải: 

Có tất cả $5+3=8$ bạn học sinh. Việc xếp 8 bạn học sinh thoả mãn yêu cầu bài toán có thể được thực hiện qua hai công đoạn:
- Công đoạn 1: chọn ra 2 bạn trong số 5 bạn nam để xếp vào hai vị trí ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải;
- Công đoạn 2: xếp $8-2=6$ bạn còn lại vào các vị trí giữa hai bạn nam đã xếp.
Đối với công đoạn 1 , số cách chọn ra hai người và xếp vào hai vị tri là:
$$
A_5^2=5 \cdot 4=20 \text { (cách) }
$$
Đối với công đoạn 2 , số cách xếp 6 người vào 6 vị trí còn lại là:
$$
P_6=6 !=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720 \text { (cách). }
$$
Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp là:
$20 \cdot 720=14400$ (cách).

Bài 3. Một phòng thi có 4 hàng bàn ghế, mỗi hàng có 5 bộ bàn ghế. Có 10 thí sinh nam và 10 thí sinh nữ được xếp vào phòng thi đó. Người ta muốn xếp các thí sinh, mỗi thí sinh ngồi một bàn, sao cho mỗi hàng chỉ xếp các thí sinh cùng giới tính và thí sinh ở hai hàng liên tiếp thì khác giới tính với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho các thí sinh?

Hướng dẫn giải: 

 Ta cần phải xếp chỗ cho các thí sinh nam vào 2 hàng và các thí sinh nữ vào 2 hàng, hơn nữa giới tính của các hàng là xen kẽ nhau. Như vậy, nếu đánh số các hàng từ trên xuống là 1, 2, 3 và 4 thì người ta có 2 phương án:
- Phương án 1: xếp các thí sinh nam vào các hàng 1 và 3 còn các học thí sinh nữ vào các hàng 2 và 4 ;
- Phương án 2: xếp các thí sinh nam vào các hàng 2 và 4 còn các thí sinh nữ vào các hàng 1 và 3 .
Đối với phương án 1 , người ta có thể tiến hành qua 2 công đoạn:
- Công đoạn 1: xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 1 và 3 ;
- Công đoạn 2: xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 2 và 4 .
Với công đoạn 1 , người ta có thể xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì. Số cách xếp là:
$$
P_{10}=10 !=10 \cdot 9 \cdots 1=3628800 \text { (cách) }
$$
Tương tự, với công đoạn 2 , người ta có thể xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì và số cách xếp là:
$$
P_{10}=10 !=10 \cdot 9 \ldots 1=3628800 \text { (cách). }
$$

Suy ra, theo quy tắc nhân, số cách xếp theo phương án 1 là:
$$
P_{10} \cdot P_{10}=10 ! \cdot 10 !=3628800 \cdot 3628800=13168189440000 \text { (cách). }
$$
Tương tự, số cách sắp xếp theo phương án 2 cũng là:
$$
P_{10} \cdot P_{10}=10 ! \cdot 10 !=3628800 \cdot 3628800=13168189440000 \text { (cách). }
$$
Như vậy, theo quy tắc cộng thì số các cách xếp là:
$$
2 \cdot P_{10} \cdot P_{10}=2 \cdot 10 ! \cdot 10 !=2 \cdot 13168189440000=26336378880000 \text { (cách). }
$$

Bài 4. Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật đề nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?

Hướng dẫn giải: 

Lưu ý rằng 5 con vật lớn nhất phải được nhốt vào các chuồng phù hợp với kích cỡ của chúng. Số chuồng như vậy là $10-3=7$. Để nhốt các con vật thì vị giám đốc có thể tiến hành qua 2 công đoạn như sau:
- Công đoạn 1: nhốt 5 con vật lớn nhất vào 5 trong 7 cái chuồng phù hợp với chúng;
- Công đoạn 2: nhốt 5 con vật còn lại vào 5 cái chuồng còn lại.
Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách lấy ra 5 phần tử có thứ tự từ một tập hợp có 7 phần tử, nghĩa là bẳng
$$
A_7^5=7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3=2520(\text { cách })
$$
Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 5 phần tử, nghĩa là bằng
$$
P_5=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120(\text { cách })
$$
Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách nhốt là:
$$
2520 \cdot 120=302400 \text { (cách) }
$$
Bài 5. Một nhóm người gồm 3 bạn nam và 3 bạn nữ mua 6 chiếc vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau.
a) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau?

Hướng dẫn giải: 

 a) Để tiện hình dung, ta đánh số các chiếc ghế từ trái qua phải 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\end{tabular}
Để các bạn nam, nữ ngồi xen kẽ thì có hai phương án:
- Phương án 1: các bạn nữ ngồi các ghế 1,3 và 5 , các bạn nam ngồi các ghế 2,4 và 6 ;
- Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế 2,4 và 6 , các bạn nam ngồi các ghế 1,3 và 5 ;
Ta hãy đếm số cách ngồi theo từng phương án. Với mỗi phương án, mỗi cách ngồi có được thực hiện qua 2 công đoạn:
- Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;

- Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.
Số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi chính là số hoán vị của 3 , nghĩa là:
$$
P_3=3 \cdot 2 \cdot 1=6 \text { (cách). }
$$
Tương tự, số cách xếp chỗ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi là:
$$
P_3=3 \cdot 2 \cdot 1=6 \text { (cách). }
$$
Vì vậy, theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là:
$$
6 \cdot 6=36 \text { (cách). }
$$
Như vậy, theo quy tắc cộng thì tồng số các cách xếp chỗ là:
$$
36+36=72 \text { (cách). }
$$
b) Để xếp các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau, ta có 4 phương án:
- Phương án 1: các bạn nữ ngồi các ghế 1, 2 và 3;
- Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế 2, 3 và 4;
- Phương án 3: các bạn nữ ngồi các ghế 3,4 và 5;
- Phương án 4: các bạn nữ ngồi các ghế 4, 5 và 6 .
Với mỗi phương án, việc xếp chỗ cho nhóm bạn có thể được thực hiện qua hai công đoạn:
- Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;
- Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.
Tương tự như a), số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi và số cách xếp chô̂ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi đều bằng 6 . Do đó, số cách xếp chỗ theo mỗi phương án đều là 36 . Vì vậy, theo quy tắc cộng, tổng số các cách ngồi là:
$$
36+36+36+36=144 \text { (cách). }
$$
Bài 6.  Trong phần ca nhạc tại một cuộc gặp mặt của một nhóm bạn, hai người bất kì hát song ca đúng một lần với nhau trong 2 phút. Thời gian hát song $\mathrm{ca}$ kể từ lúc bắt đầu đến lúc kết thúc (coi các cặp hát nối tiếp nhau liên tục) là 30 phút. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người?

Hướng dẫn giải: 

Giả sử nhóm bạn gồm $n$ người. Số các cặp song ca chính là số các cách chọn ra 2 người từ $n$ người đó, nghĩa là bằng $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Mỗi cặp song ca hát với nhau trong đúng 2 phút nên tồng thời gian hát, tính theo phút là:
$$
2 \cdot \frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)
$$
Suy ra $n(n-1)=30$, hay $(n+5)(n-6)=0$. Từ đó suy ra $n=6$.
Vậy, nhóm bạn có 6 người.

Bài 7.  a) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 4 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHI"?
b) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 6 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHIÊN" ?
c) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 7 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHIÊNG"?

Hướng dẫn giải: 

a) Từ "NGHI" có 4 chữ cái khác nhau là "N, G, H, I". Số cách sắp xếp chúng theo yêu cầu bằng số các hoán vị của 4 chữ cái, nghĩa là $P_4=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24$ (từ).
b) Từ "NGHIÊN" có 6 chữ cái, trong đó có 2 chữ cái giống nhau là "N, N". Việc xếp các chữ cái "N, G, H, I, Ê, N" của từ "NGHIÊN" theo yêu cầu giống như việc bỏ các chữ cái "N,G, H, I, Ê, N" vào 6 hộp, mỗi hộp có 1 chữ cái:

Việc bỏ các chữ cái "N, G, H, I, Ê, N" vào 6 chiếc hộp có thể thực hiện qua 2 công đoạn.
- Công đoạn 1: chọn 2 chiếc hộp trong 6 chiếc hộp rồi bỏ 2 chữ cái N, N vào 2 chiếc hộp đó;
- Công đoạn 2: bỏ các chữ cái G, H, I, Ê vào 4 chiếc hộp còn lại;
Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số các cách chọn 2 hộp từ 6 hộp, do đó bằng $C_6^2$. Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 4 chữ cái, do đó bằng $P_4$. Như vậy, theo quy tắc nhân thì số dãy kí tự được tạo thành là:
$$
C_6^2 \cdot P_4=15 \cdot 24=360(\text { từ }) \text {. }
$$
c) Tương tự như b). Từ "NGHIÊNG" có 7 chữ cái, "N, G, H, I, Ê, N, G", trong đó có các chữ cái giống nhau là "N, N" và "G, G".
Việc xếp các chữ cái "N, G, H, I, Ê, N, G" của từ "NGHIÊNG" thành một dãy kí tự có 7 chữ cái giống như việc bỏ các chữ cái "N,G, H, I, Ê, N, G" vào 7 hộp (có thứ tự).

Việc bỏ các chữ cái "N, G, H, I, Ê, N, G" vào 7 cái hộp có thể thực hiện qua 2 công đoạn.
- Công đoạn 1: chọn 2 cái hộp trong 7 cái hộp rồi bỏ các chữ cái N, N vào 2 chiếc hộp đó;
- Công đoạn 2: chọn 2 cái hộp trong 5 cái hộp còn lại rồi bỏ các chữ cái G, G vào 2 chiếc hộp đó;
- Công đoạn 3: bỏ các chữ cái G, I, Ê vào 3 chiếc hộp còn lại.
Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách chọn 2 hộp từ 7 hộp, nghĩa là bằng $C_7^2$. Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số cách chọn 2 hộp từ 5 hộp, nghĩa là bằng $C_5^2$. Số cách thực hiện công đoạn 3 bằng số các hoán vị của 3, nghĩa là bằng $P_3$. Như vậy, theo quy tắc nhân thì số dãy kí tự được tạo thành là:
$$
C_7^2 \cdot C_5^2 \cdot P_3=\frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=21 \cdot 10 \cdot 6=1260 \text { (từ). }
$$

Bài 8. Một nhóm hành khách, gồm 2 nam và 3 nữ, lên một chiếc xe buýt. Trên xe có 10 ghế trống, trong đó có 5 ghế cạnh cửa sổ.
a) Hỏi họ bao nhiêu cách ngồi?
b) Các hành khách nữ mong muốn ngồi cạnh cửa sổ. Hỏi số cách ngồi của họ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải: 

 a) Số cách ngồi của nhóm hành khách chính là số cách chọn ra 5 chiếc ghế có xếp thứ tự từ 10 chiếc ghế trống, nghĩa là:
$$
A_{10}^5=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6=30240 \text { (cách). }
$$
b) Việc xếp chỗ cho nhóm khách có thể được thực hiện theo 2 công đoạn:
- Công đoạn 1: xếp chỗ cho những hành khách nữ;
- Công đoạn 2: xếp chỗ cho những hành khách nam.

Với công đoạn 1, ta cần xếp chỗ cho 3 hành khách nữ vào 3 trong 5 chiếc ghế cạnh cửa sồ. Số cách xếp là:
$$
A_5^3=5 \cdot 4 \cdot 3=60 \text { (cách). }
$$
Đối với công đoạn 2, ta cần xếp chỗ cho 2 hành khác nam vào 2 trong bất kì $10-3=7$ chiếc ghể còn lại. Số cách xếp là:
$$
A_7^2=7 \cdot 6=42 \text { (cách). }
$$
Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách xếp chỗ là:
$$
60 \cdot 42=2520 \text { (cách). }
$$
Bài 9. Để chuẩn bị cho buổi biểu diễn, 3 anh hề phải chọn trang phục biểu diễn cho mình gồm mũ, tóc già, mũi và quần áo. Đoàn xiếc có 10 chiếc mũ, 6 bộ tóc giả, 5 cái mũi hề và 8 bộ quần áo hề. Hỏi các anh hề có bao nhiêu cách chọn trang phục biểu diễn?

Hướng dẫn giải: 

Để chọn trang phục biểu diễn, các anh hề có thể thực hiện 4 công đoạn, gồm:
- Công đoạn 1: chọn mũ;
- Công đoạn 2: chọn tóc giả;
- Công đoạn 3: chọn mũi giả;
- Công đoạn 4: chọn quần áo.
Có 3 anh hề và 10 chiếc mũ nên số cách chọn mũ để đội cho 3 anh hề là:
$$
A_{10}^3=10 \cdot 9 \cdot 8=720 \text { (cách) }
$$
Tương tự, có $A_6^3=6 \cdot 5 \cdot 4=120$ cách chọn tóc giả, có $A_5^3=5 \cdot 4 \cdot 3=60$ cách chọn mũi hề và có $A_8^3=8 \cdot 7 \cdot 6=336$ cách chọn quần áo.
Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách chọn trang phục của 3 anh hề là:
$$
720 \cdot 120 \cdot 60 \cdot 336=1741824000 \text { (cách). }
$$
Bài 10. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 999 999, có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 1 và đúng một chữ số 2 ?

Hướng dẫn giải: 

Các số từ 1 đến 999999 có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng $\overline{a b c d e f}$, trong đó mỗi kí hiệu $a, b, c, d, e, f$ nhận một trong các giá trị $0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9$. Chẳng hạn số $\overline{001234}$ được hiểu là số 1234.

Để tạo thành một số $\overline{a b c d e f}$ thoả mãn yêu cầu ta có thể tiến hành qua hai công đoạn:
- Công đoạn 1: chọn ra 2 kí hiệu trong số $a, b, c, d, e, f$ để thay bằng các chữ số $1 ; 2$;
- Công đoạn 2: thay 4 kí hiệu còn lại, mỗi kí hiệu bằng một chữ số bất kì trong số tám chữ số còn lại $0 ; 3 ; 4 ; \ldots ; 9$.

Có $A_6^2=6 \cdot 5=30$ cách chọn ra 2 kí hiệu từ 6 kí hiệu để thay chúng tương ứng bằng $1 ; 2$.

Mỗi kí hiệu còn lại có thể được thay bằng 8 cách khác nhau. Do đó có tổng cộng
$$
8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8=4096 \text { (cách). }
$$
Theo quy tắc nhân, số các số từ 1 đến 999999 cần tìm là:
$$
30 \cdot 4096=122880 \text { (số). }
$$

Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé