Ôn tập cấp số cộng cấp số nhân Toán lớp 11 theo cấu trúc mới 2025

Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án. 

Câu 1. Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?
A. $u_n=5^n$.
B. $u_n=2-5 n$.
C. $u_n=5^n-2$.
D. $u_n=5+n^2$.

Đáp án: B. 

Câu 2. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết $u_5+u_7=19$. Giá trị của $u_2+u_{10}$ là
A. 38 .
B. 29 .
C. 12.
D. 19.

Đáp án: D. 

Câu 3. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bôi $q>1$ với $u_2=-3$ và $u_1+u_2+u_3=-13$. Số hạng đầu $u_1$ và công bôi $q$ của cấp số nhân đó là
A. $u_1=1, q=3$.
B. $u_1=-1, q=-3$.
C. $u_1=-1, q=3$.
D. $u_1=1, q=-3$.

Đáp án: C.

Câu 4. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số công?
A. $2 ; 0 ;-2 ;-4 ;-5$.
B. $\frac{1}{2} ;-\frac{1}{2} ;-\frac{3}{2} ;-\frac{5}{2} ;-\frac{7}{2}$.
C. $\sqrt{2} ; \sqrt{2} ; \sqrt{2} ; \sqrt{2} ; \sqrt{2}$.
D. $-7 ;-4 ;-1 ; 2 ; 5$.

Đáp án: A

Câu 5. Trong các dãy số ( $\left.u_n\right)$ với số hang tổng quát sau, dãy số nào là cấp số công?
A. $u_n=3 \cdot 2^n$.
B. $u_n=3-2 n$.
C. $u_n=2^n+3$.
D. $u_n=2+n^3$.

Đáp án: B. 

Câu 6. Cho cấp số công $\left(u_n\right)$ biết $u_3=-2 ; u_7=18$. Số hang $u_{11}$ bằng
A. 38 .
B. 20 .
C. 43 .
D. 33 .

Đáp án: A

Câu 7. Cho $\left(u_n\right)$ là cấp số công có $u_4+u_{16}=48$. Số hang $u_{10}$ bằng
A. 28 .
B. 24 .
C. 96.
D. 72 .

Đáp án: B

Câu 8. Cho $\left(u_n\right)$ là cấp số công có $u_9=5 u_2$ và $u_{13}=2 u_6+5$. Số hang đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số công đó là
A. $u_1=-3, d=4$.
B. $u_1=3, d=4$.
C. $u_1=4, d=3$.
D. $u_1=-4, d=3$.

Đáp án: B

Câu 9. Một cấp số công có số hang đầu $u_1=\frac{1}{3}$, công sai $d=-1$. Tổng $n$ số hang đầu của cấp số công đó bằng -425. Giá tri của $n$ bằng
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 15 .

Đáp án: A

Câu 10. Cho $\left(u_n\right)$ là cấp số công có $u_2+u_9=15$. Tổng 10 số hang đầu tiên của cấp số công đó bằng
A. 150 .
B. 75 .
C. 120 .
D. 90.

Đáp án: B

Câu 11. Cho $\left(u_n\right)$ là cấp số công. Goi $S_n$ là tổng $n$ số hang đầu của cấp số đó. Biết $S_{10}=365$, $S_{15}=435$. Công thức của số hang tổng quát $u_n$ là
A. $u_n=50-3 n$.
B. $u_n=53+3 n$.
C. $u_n=50+3 n$.
D. $u_n=53-3 n$.

Đáp án: D

Câu 12. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1=-1$, công bôi $q=-\frac{1}{10}$. Số $-\frac{1}{10^{2024}}$ là số hang thứ mấy của cấp số nhân?
A. Số hạng thứ 2024 .
B. Số hạng thứ 2025 .
C. Số hạng thứ 2023.
D. Số hạng thứ 2026 .

Đáp án: B

Dang II. Câu trắc nghiêm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chon đúng hoăc sai.
Câu 13. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có tổng $n$ số hang đầu được tính bởi công thức $S_n=2 n^2-4 n$.
a) Số hang đầu $u_1=-2$, số hang thứ hai $u_2=2$.
b) Với $n \geq 2$ thì $S_n-S_{n-1}=4 n-6$.
c) Dãy số $\left(u_n\right)$ là môt cấp số công có công sai là -6 .
d) Tổng $u_2+u_4+u_6+\ldots+u_{100}$ là 5000 .

Đáp án: a) Đ; b) S; c) S; d) S.
Câu 14. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có tổng $n$ số hang đầu được tính bởi công thức $S_n=n^2-\frac{3}{2} n$.
a) Ta có $S_1=-\frac{1}{2} ; S_2=1$.
b) Số hang thứ hai của dãy số là $u_2=1$.
c) Số hang tổng quát của dãy số là $u_n=-\frac{5}{2}+2 n$.
d) Dãy số $\left(u_n\right)$ là môt cấp số công có công sai là 2 .

Đáp số: a) $D ;$ b) $S ;$ c) $D ;$ d) $Đ$.

Câu 15. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $u_1=1, u_{n+1}=\frac{u_n}{1-2 u_n}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Đăt $v_n=\frac{u_n+2}{u_n}$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
a) $v_1=3$.
b) Dãy số $v_n$ là môt cấp số công có công sai $d=4$.
c) Công thức của số hang tổng quát $v_n$ là $v_n=7-4 n$.
d) Công thức của số hang tổng quát $u_n$ là $u_n=\frac{2}{7-4 n}$.

Đáp số: a) $Đ ; b) S ;$ c) $Đ ; d) S$.
Câu 16. Cho dãy số $\left(u_n\right)$, biết $u_1=-17, u_{n+1}=5 u_n-12$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Đăt $v_n=\frac{3-u_n}{2}$ vóri $n \in \mathbb{N}^*$.
a) $v_1=10$.
b) Dãy số $\left(v_n\right)$ là môt cấp số nhân có công bôi bằng $\frac{1}{5}$.
c) Công thíc của số hang tổng quát $v_n$ là $v_n=\frac{2}{5^n}$.
d) Công thíc của số hang tổng quát $u_n$ là $u_n=3-4 \cdot 5^n$.

Đáp số: a) $Đ ;$ b) $S ;$ c) $S ; d) Đ$.

Dang III. Câu trắc nghiêm trả lời ngắn
Câu 17. Khi kí kết hợp đồng với người lao đông, môt doanh nghiêp đề xuất hai phương án trả lương như sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triêu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương đươoc tăng 18 triêu dồng.
Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triêu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương đươoc tăng 1,8 triêu dồng.

Tìm $n$ (với $n \in \mathbb{N}^*$ ) để từ năm thứ $n$ trở đi thì tổng số tiền lương nhân được trong $n$ năm đi làm ở phương án thứ hai nhiều hơn ở phương án thứ nhất.

Đáp án: 4
Câu 18. Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 1 . Gọi $C_2$ là hình vuông có các dỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông $C_1 ; C_3$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của hình vuông $C_2 ; \ldots$ Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông $C_1 ; C_2 ; C_3 ; \ldots ; C_n ; \ldots$ Diện tích của hình vuông $C_{2025}$ có dang $\frac{1}{2^a}$. Tìm $a$.

Đáp án: 2024

Lời giải: 

Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ với $i \in\{1 ; \ldots ; n\}$. Ta có
- $S_1=1^2=1$.
- $S_2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}=\frac{1}{2} S_1$.
- $S_3=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=\frac{1}{2} S_2$. ...
- Suy ra $S_n=\frac{1}{2} S_{n-1}$.

Suy ra $\left(S_n\right)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $S_1=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Khi đó $S_{2025}=S_1 \cdot q^{2024}=1 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2024}=\frac{1}{2^{2024}}$. Vậy $a=2024$.

Quâu 19. Một Phà thi đấu có 20 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 30 ghế, hàng thứ hai có 31 ghế, hàng thứ ba có 32 ghế... Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng ngay trước là 1 ghế. Trong môt giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 63200000 đồng. Tính giá tiền của mỗi vé (đơn vi: nghìn đồng), biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá.
Đáp án: 80

Lời giải.
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=30$, công sai $d=1$.
Cấp số cộng này có 20 số hạng. Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là
$$
S_{20}=\frac{[2 \cdot 30+(20-1) \cdot 1] \cdot 20}{2}=790 \text { (ghế). }
$$

Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên có 790 vé được bán ra.
Vậy giá tiền của một vé là $63200000: 790=80000$ (dồng) $=80$ (nghìn đồng).

Câu 20. Cho tập hợp $A$ gồm 99 số tự nhiên liên tiếp khác nhau $A=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 99\}$. Tìm số cách chọn ba số khác nhau từ tập hợp $A$ đẩ ba số đó lâp thành cấp số cộng.
Đáp án: 2401.

Hướng dẫn chi tiết: 

Lời giải.
Gọi $a, b, c$ theo thứ tự lâp thành cấp số cộng $(a, b, c \in A)$.
Khi đó, $b-a=c-b$ hay $2 b=a+c$.
Do đó, $a$ và $c$ phải cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ nên số cách chọn hai số $a, c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ là: $\mathrm{C}_{49}^2+\mathrm{C}_{50}^2=1176+1225=2401$.
Với mỗi cách chọn hai số $a, c$ có duy nhất một cách chọn số $b$.
Vậy số cách chọn ba số khác nhau từ tập hợp $A$ để ba số đó lập thành cấp số cộng là 2401 .
Câu 21. Anh Minh kí hợp đồng lao động có thời hạn ở một công ty với phương án trả lương như sau: Quý thứ nhất, tiền lương là 27 triêu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 2,1 triệu. Tổng số tiền lương anh nhận được trong các năm đã đi làm là 684 triệu đồng. Hỏi anh Minh đã làm ở công ty đó bao nhiêu năm?
Đáp án: 4

Lời giải.
Gọi số năm đã đi làm của anh Minh ở công ty đó là $n$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Số quý làm việc là $4 n$.
Khi đó, tổng số tiền thu được của anh Minh trong $n$ năm đi làm là
$$
\begin{aligned}
S=\frac{[2 \cdot 27+(4 n-1) \cdot 2,1] \cdot 4 n}{2}=684 & \Leftrightarrow 84 n^2+519 n-3420=0 \\
& \Leftrightarrow n=4 \text { hoặc } n=\frac{-285}{28} .
\end{aligned}
$$

Do $n$ nguyên dương nên $n=4$ năm.

Câu 22. Một quả bóng được thả thẳng đứng từ độ cao 10 m rơi xuống đất và nảy lên. Giả sử sau mỗi môt lần rởi xuống, nó nảy lên được một độ cao bằng $75 \%$ độ cao vừa rời xuống. Tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ lúc thả xuống đến khi quả bóng cham đất lần thứ 10 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).
Đáp án: 65,5

Lời giải.
Gọi $u_n(\mathrm{~m})$ là độ cao mà quả bóng đạt được sau khi nảy lên ở lần thứ $n$.
Ta có $u_1=10 \cdot 0,75=7,5$. Ta có, dãy $\left(u_n\right)$ lập thành cấp số nhân có $u_1=7,5$ và công bội $q=0,75$. Kể từ lúc thả xuống đến khi quả bóng chạm đất lần thứ 10 , quả bóng đã được nảy lên 9 lần rồi lại rơi xuống.
Do quãng đường quả bóng nảy lên và rơi xuống bằng nhau nên tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ lúc thả xuống đến khi quả bóng chạm đất lần thứ 10 là
$$
S=10+2\left(u_1+u_2+\cdots+u_9\right)=10+2 \cdot 7,5 \cdot \frac{1-(0,75)^9}{1-0,75} \approx 65,5(\mathrm{~m})
$$