Các công thức về hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Toán lớp 10 chương trình mới 2018

1. Định lí côsin. Trong tam giác $A B C$ :
$$
\begin{aligned}
& a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A, \\
& b^2=c^2+a^2-2 c a \cos B, \\
& c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C .
\end{aligned}
$$

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ có $\widehat{A}=120^{\circ}$ và $A B=5$, $A C=8$. Tính độ dài cạnh $B C$.
Giải:
Áp dụng Định lí côsin cho tam giác $A B C$, ta có:
$$
\begin{aligned}
B C^2 & =A B^2+A C^2-2 A B \cdot A C \cdot \cos 120^{\circ} \\
& =5^2+8^2-2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=129 . \text { Vậy } B C=\sqrt{129} .
\end{aligned}
$$

2. Định lý Sin: 

Định lí sin. Trong tam giác $A B C: \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ có $\widehat{A}=135^{\circ}, \widehat{C}=15^{\circ}$ và $b=12$.
Tính $a, c, R$ và số đo góc $B$.
Giải:
Ta có: $\widehat{B}=180^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{C})=180^{\circ}-\left(135^{\circ}+15^{\circ}\right)=30^{\circ}$.
Áp dụng Định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin 135^{\circ}}=\frac{12}{\sin 30^{\circ}}=\frac{c}{\sin 15^{\circ}}=2 R$.

Suy ra $a=\frac{12}{\sin 30^{\circ}} \cdot \sin 135^{\circ}=12 \sqrt{2} ; c=\frac{12}{\sin 30^{\circ}} \cdot \sin 15^{\circ}=24 \sin 15^{\circ}(\approx 6,21) ; R=\frac{12}{2 \sin 30^{\circ}}=12$.

3. Giải tam giác:

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Ví dụ 3. Giải tam giác $A B C$, biết $c=14, \widehat{A}=60^{\circ}, \widehat{B}=40^{\circ}$.
Giải:
Ta có $\widehat{C}=180^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{B})=80^{\circ}$.
Áp dụng Định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin 60^{\circ}}=\frac{b}{\sin 40^{\circ}}=\frac{14}{\sin 80^{\circ}}$
Suy ra $a=\frac{14 \sin 60^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 12,31 ; b=\frac{14 \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 9,14$.
Luyện tập 3. Giải tam giác $A B C$, biết $b=32, c=45, \widehat{A}=87^{\circ}$.

4. Công thức tính diện tích tam giác: 

Công thức tính diện tích tam giác $A B C$ : $S=p r=\frac{(a+b+c) r}{2}$.

Công thức tính diện tích tam giác $A B C: S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B=\frac{1}{2} a b \sin C$.

Công thức tính diện tích tam giác $A B C: S=\frac{a b c}{4 R}$.

Công thức Heron. Trong tam giác $A B C: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Ví dụ 5. Tính diện tích $S$ của tam giác $A B C$ có $c=4, b=6, \widehat{A}=150^{\circ}$.

Giải:
Ta có: $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 150^{\circ}=6$.

Vi dụ 6. Cho tam giác $A B C$ có $a=13, b=14, c=15$.
a) Tính $\sin A$.
b) Tính diện tích $S$ bằng hai cách khác nhau.

Giải:
a) Áp dụng Định lí côsin, ta có:
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=\frac{14^2+15^2-13^2}{420}=0,6 .
$$

Do đó $\sin A=\sqrt{1-\cos ^2 A}=0,8$.
b) Ta có $S=\frac{1}{2} b c \sin A=84$.

Áp dụng Công thức Heron, ta cũng có thể tính $S$ theo cách thứ hai sau: Tam giác $A B C$ có nửa chu vi là: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21$.
Khi đó
$$
S_{A B C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{21 \cdot(21-13) \cdot(21-14) \cdot(21-15)}=\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}=84 .
$$