TíNH ĐƠN ĐIỆU CÙA HÀM SỐ.
1) Cách nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm.
- Cách 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên tập $K \subset \mathbb{R}$, trong đó $K$ là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
Nếu $f^{\prime}(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K$.
Nếu $f^{\prime}(x)<0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
- Cách 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên tập $K \subset \mathbb{R}$, trong đó $K$ là một khoång, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu $f^{\prime}(x) \geq 0$ (hoặc $f^{\prime}(x) \leq 0$ ) với mọi $x$ thuộc $K$ và $f^{\prime}(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$.
2) Chú ý:

Nếu hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên tập $K$ hoặc nghịch biến trên tập $K$ thì hàm số $y=f(x)$ còn được gọi là đơn điệu trên tập $K \subset \mathbb{R}$.
3) Cách xét tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm.

Đế xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)$, ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x)$.
Bước 2. Tính đạo hàm $f^{\prime}(x)$. Tìm các điểm $x_i(i=1,2, \ldots, n)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thư tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận vể các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

XÉT DẤU ĐẠO HÀM VÀ QUAN SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ, BẢNG BIẾN THIÊN
Bài toán 1. Cho hàm số $y=f(x)$ có $f^{\prime}(x)=(x+2)(x+1)\left(x^2-1\right)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-1 ; 1)$.
B. $(0 ;+\infty)$.
C. $(-\infty ;-2)$.
D. $(-2 ;-1)$.

Lời giải $f^{\prime}(x)=(x+2)(x+1)\left(x^2-1\right)=(x+1)^2(x-1)(x+2)$. Dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$.

Bài toán 6. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=x^2+2, \forall x \in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $f(-1) \geq f(1)$.
B. $f(-1)=f(1)$.
C. $f(-1)>f(1)$.
D. $f(-1)<f(1)$.

Lời giải
4
Từ $f^{\prime}(x)=x^2+2, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Mà $-1<1 \Rightarrow f(-1)<f(1)$.
Bài toán 7. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=x^2-2 x, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y=-2 f(x)$ đồng biến trên khoảng
A. $(0 ; 2)$.
B. $(2 ;+\infty)$.
C. $(-\infty ;-2)$.
D. $(-2 ; 0)$.

Lời giải
Ta có: $y^{\prime}=-2 f^{\prime}(x)=-2 x^2+4 x>0 \Leftrightarrow x \in(0 ; 2)$. Suy ra: hàm số $y=-2 f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 2)$ Bài toán 8. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-1)(x-3), \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(0 ; 3)$.
B. $(3 ;+\infty)$.
C. $(-\infty ; 2)$.
D. $(1 ; 3)$.

Bài toán 2. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y=-x^3+2 x^2-3 x+5$.
A. $(-\infty ;+\infty)$
B. $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$.
C. $(0 ;+\infty)$.
D. $\left(-\frac{1}{2} ;+\infty\right)$.

Lời giải
$+y^{\prime}=-3 x^2+4 x-3=-3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{5}{3}<0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số nghịch biến $\mathbb{R}$.
Bài toán 3. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $y=\frac{x+1}{x-2}$.
B. $y=x^2+2 x$.
C. $y=x^3-x^2+x$.
D. $y=x^4-3 x^2+2$.

Lời giải
$y=x^3-x^2+x \Rightarrow y^{\prime}=3 x^2-2 x+1=3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}>0 \forall x \in \mathbb{R}$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Bài toán 4. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$
A. $y=-x^3-x$.
B. $y=-x^4-x^2$.
C. $y=-x^3+x$.
D. $y=\frac{x+2}{x-1}$.

Lời giải
Hàm số $y=-x^3-x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$, đạo hàm $y^{\prime}=-3 x^2-1=-\left(3 x^2+1\right)<0, \forall x \in \mathbb{R}$
Suy ra, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Bài toán 5 . Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $y=x^4-x^2$.
B. $y=x^3-x$.
C. $y=\frac{x-1}{x+2}$.
D. $y=x^3+x$.

Lời giải
Ta có: $y=x^3+x \Rightarrow y^{\prime}=3 x^2+1>0 \forall x \in \mathbb{R}$.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SÓ PHÂN THỨC HỮU TỶ
Bài toán 1. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên từng khoảng xác định
A. $y=\frac{x-1}{x-2}$
B. $y=x^3+x$
C. $y=-x^3-3 x$
D. $y=\frac{x+1}{x+3}$

Lời giải. Ta có $y=\frac{x+1}{x+3} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{2}{(x+3)^2}>0, \forall x \neq-3$
Bài toán 2 . Hàm số nào dưới đây đồng biến trên từng khoảng xác định
A. $y=\frac{x-1}{x-2}$.
B. $y=\frac{x-2}{x+1}$.
C. $y=3 x^3+3 x-2$.
D. $y=\frac{2}{x^2+1}$.

Lời giải. Đạo hàm $y=\frac{x-2}{x+1} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{3}{(x+1)^2}>0, \forall x \neq-1$ nên đồng biến trên từng khoảng xác định.
Bài toán 3. Hàm số $y=\frac{2}{x^2+1}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty ;+\infty)$
B. $(0 ;+\infty)$
C. $(-\infty ; 0)$
D. $(-1 ; 1)$

Lời giải. Ta có $y^{\prime}=\frac{-4 x}{\left(x^2+1\right)^2}<0 \Leftrightarrow x>0$.
Bài toán 4. Hàm số $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}$ đồng biến trên khoảng nào
A. $(-\infty ;+\infty)$
B. $(0 ;+\infty)$
C. $(-\infty ;-2)$
D. $(-1 ; 1)$

Bài toán 9. Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y=\ln \left(1+e^{2 x}\right)+e$.
A. $(-\infty ;+\infty)$.
B. $(-1 ; 0)$.
C. $(-1 ; 1)$.
D. $(0 ; 1)$.

Lời giải
Ta có $y^{\prime}=\left[\ln \left(1+e^{2 x}\right)+e\right]^{\prime}=\frac{\left(1+e^{2 x}\right)^{\prime}}{1+e^{2 x}}=\frac{2 e^{2 x}}{1+e^{2 x}}>0, \forall x$.
Khoảng đồng biến là $(-\infty ;+\infty)$.
Bài toán 10. Khoảng đồng biến của hàm số $y=e^{x^2+x}$ là
A. $\left(-\frac{1}{2} ;+\infty\right)$.
B. $(-1 ; 0)$.
C. $(-1 ; 1)$.
D. $(-\infty ;+\infty)$

Lời giải
Ta có $y^{\prime}=\left(e^{x^2+x}\right)^{\prime}=e^{x^2+x} .\left(x^2+x\right)^{\prime}=(2 x+1) e^{x^2+x}>0 \Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}$.
Bài toán 11. Khoảng đồng biến của hàm số $y=\log _3\left(x^2+x+1\right)$ là
A. $\left(-\frac{1}{2} ;+\infty\right)$.
B. $(-1 ; 0)$.
C. $(-1 ; 1)$.
D. $(0 ; 1)$.

Lời giải
$y^{\prime}=\frac{\left(x^2+x+1\right)^{\prime}}{\left(x^2+x+1\right) \ln 3}=\frac{2 x+1}{\left(x^2+x+1\right) \ln 3}>0 \Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}$. Suy ra khoảng đồng biến là $\left(-\frac{1}{2} ;+\infty\right)$.

Bài toán 13. Tìm khoảng đồng biến của hàm số $f(x)=\log _2\left(x^2+1\right)+2024$.
A. $(-\infty ; 1]$
B. $(-\infty ; 4]$
C. $(-\infty ; 1)$
D. $(0 ;+\infty)$

Lời giải
Hàm số đồng biến khi $f^{\prime}(x)=\frac{2 x}{\left(x^2+1\right) \cdot \ln 2}>0 \Leftrightarrow x>0$.
Bài toán 14. Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $\log _3 x^2$
B. $y=\log \left(x^3\right)$
C. $y=\left(\frac{\mathrm{e}}{4}\right)^x$
D. $y=\left(\frac{2}{5}\right)^{-x}$

Lời giải
Hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có $0<\frac{\mathrm{e}}{4}<1$ nên hàm số $y=\left(\frac{\mathrm{e}}{4}\right)^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Bài toán 15. Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $y=\frac{x+1}{x-1}$.
B. $y=\sin x+2 x$
C. $y=e^x-6 x$
D. $y=x^2-2$

Lời giải
Hàm số $y=\sin x+2 x \Rightarrow y^{\prime}=\cos x+2>0, \forall x$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Bài toán 16. Tìm hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $f(x)=3^x$.
B. $f(x)=3^{-x}$.
C. $f(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$.
D. $f(x)=\frac{3}{3^x}$.

Lời giải
Hàm số $f(x)=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a>1$ và nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nếu $0<a<1$.
Vậy hàm số $f(x)=3^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Bài toán 17. Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $y=\frac{x+1}{x-6}$
B. $y=\cos x+5 x+3$
C. $y=e^x-6 x$
D. $y=x^2-2 x$

Lời giải
Hàm số $y=\cos x+5 x+3 \Rightarrow y^{\prime}=\sin x+5>0, \forall x$. Hàm số đồna biến trên $\mathbb{R}$

TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ CHỨA CĂN
Bài toán 1. Hàm số $y=\sqrt{2018 x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. $(1010 ; 2018)$.
B. $(2018 ;+\infty)$.
C. $(0 ; 1009)$.
D. $(1 ; 2018)$.

Lời giải
TXĐ: $D=[0 ; 2018]$
$$
y^{\prime}=\left(\sqrt{2018 x-x^2}\right)^{\prime}=\frac{2018-2 x}{2 \sqrt{2018 x-x^2}}=\frac{1009-x}{\sqrt{2018 x-x^2}} ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=1009
$$
$y^{\prime}<0 \Leftrightarrow x \in(1009 ; 2018)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(1009 ; 2018)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1010; 2018), chọn A.
Bài toán 2. Cho hàm $y=\sqrt{x^2-6 x+5}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(5 ;+\infty)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(3 ;+\infty)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; 1)$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; 3)$.

Lời giải
Tập xác định: $D=(-\infty ; 1] \cup[5 ;+\infty)$. Ta có $y^{\prime}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6 x+5}}>0, \forall x \in(5 ;+\infty)$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(5 ;+\infty)$.
Bài toán 3. Cho hàm số $y=\sqrt{2 x^2+1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; 0)$
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1 ; 1)$

Lời giải
Ta có $D=\mathbb{R}, y^{\prime}=\frac{2 x}{\sqrt{2 x^2+1}} ; y^{\prime}>0 \Leftrightarrow x>0$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; 0)$ và đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.

Bài toán 8. Khoảng đồng biến của hàm số $y=\sqrt{x^2+6 x-7}$ chứa bao nhiêu số nguyên nhỏ hơn 20
A. 18
B. 5
C. 10
D. 12

Lời giải
Điều kiện $x^2+6 x-7 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq 1 \\ x \leq-7\end{array}\right.$
Hàm số đồng biến khi $y=\sqrt{x^2+6 x-7} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{2 x+6}{2 \sqrt{x^2+6 x-7}}>0 \Leftrightarrow x>-3 \Rightarrow x>1$.
Suy ra có 18 số nguyên.
Bài toán 9 . Hàm số $y=\sqrt{x^2+8}-x+7$ có khoảng đồng biến là
A. $(-\infty ;+\infty)$
B. $(-\infty ;-1)$.
C. $(0 ;+\infty)$.
D. $(0 ; 8)$.

Lời giải
Ta có $y=\sqrt{x^2+8}-x+7 \Rightarrow y^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-1=\frac{x-\sqrt{x^2+8}}{\sqrt{x^2+8}}<0$ (do $x<\sqrt{x^2+8}$ ).
Bài toán 10. Hai hàm số $y=\sqrt{4 x-x^2} ; y=\sqrt{-x^2+6 x-5}$ có khoảng đồng biến lần lượt là $(a ; b),(c ; d)$. Tính giá trị biểu thức $a-c+b-d$.
A. 1
B. 0
C. -1
D. -2

Lời giải
Xét tập xác định $[0 ; 4] ; \quad y=\sqrt{4 x-x^2} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{4-2 x}{2 \sqrt{4 x-x^2}} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2 \Rightarrow(a ; b)=(0 ; 2)$.
Xét tập xác định $[1 ; 5] ; \quad y=\sqrt{-x^2+6 x-5} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{6-2 x}{2 \sqrt{-x^2+6 x-5}} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \Rightarrow(c ; d)=(1 ; 3)$.
Như vậy $a-c+b-d=0-1+2-3=-2$.