Bài 1. Mệnh đề toán học.
+ Dạng 1. Xác định mềnh đề và mệnh đề chứa biến.
+ Dạng 2. Xét tính đúng sai của một mệnh đề.
+ Dạng 3. Phủ định một mệnh đề.
+ Dạng 4. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương.
Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp.
+ Dạng 1. Xác định một tập hợp.
+ Dạng 2. Các phép toán về giao, hợp, hiệu của hai tập hợp.

I. MỆNH ĐỀ
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
II. PHỦ ĐINH CỦA MỌT MỆNH ĐĖ̀
Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề $P$ là $\bar{P}$ ta có
- $\bar{P}$ đúng khi $P$ sai.
- $\bar{P}$ sai khi $P$ đúng.
III. MỆNH ĐỀ KÉO THEO
Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$ " được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ còn được phát biểu là " $P$ kéo theo $Q$ " hoặc " Từ $P$ suy ra $Q$ ".
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ khi $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì $P \Rightarrow Q$ đúng, nếu $Q$ sai thì $P \Rightarrow Q$ sai.

IV. MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG
Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương.
Khi đó ta có kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$ và đọc là $P$ tương đương $Q$, hoặc $P$ là điều kiện cần và đủ để

có $Q$, hoặc $P$ khi và chỉ khi $Q$.
V. KÍ HIỆU $\forall$ VÀ $\exists$
Ví dụ: Câu "Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 " là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau
$$
\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0 \text { hay } x^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} .
$$

Kí hiệu $\forall$ đọc là " với mọi".
Ví dụ: Câu "Có một số nguyên nhỏ hơn 0 " là một mệnh đề.
Có thể viết mệnh đề này như sau
$$
\exists n \in \mathbb{Z}: n<0 .
$$

Kí hiệu $\exists$ đọc là " có một" (tồn tại một) hay " có ít nhất một"(tồn tại ít nhất một).
- Mệnh đề phủ định của mệnh đề " $\forall x \in X, P(x)$ " là " $\exists x \in X, \overline{P(x)}$ ".

Ví dụ: Cho mệnh đề " $\forall x \in \mathbb{R}, x^2-x+7<0$ ". Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề trên?
Lời giải

Phủ định của mệnh đề " $\forall x \in \mathbb{R}, x^2-x+7<0$ " là mệnh đề " $\exists x \in \mathbb{R}, x^2-x+7 \geq 0$ ".
- Mệnh đề phủ định của mệnh đề " $\exists x \in X, P(x)$ " là " $\forall x \in X, \overline{P(x)}$ ".

Ví dụ: Cho mệnh đề " $\exists x \in \mathbb{R}, x^2-x-6=0$ ". Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề trên?
Lời giải

Phủ định của mệnh đề " $\exists x \in \mathbb{R}, x^2-x-6=0$ " là mệnh đề " $\forall x \in \mathbb{R}, x^2-x-6 \neq 0$ ".

1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong trường học;
d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.
1.2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $\pi<\frac{10}{3}$;
b) Phương trình $3 x+7=0$ có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0 ;
d) 2022 là hợp số.
1.3. Cho hai câu sau:
P : "Tam giác ABC là tam giác vuông";
Q : "Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ xét tính đúng sai của mệnh đề này.
1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai chúng.

P: "Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5 ";
Q : "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau".
1.5. Với hai số thực a và b , xét các mệnh đề $P: " a^2<b^2$ " và $Q$ :" $0<a<b "$.
a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu $b$.
1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.
$\mathrm{Q}: " \exists n \in \mathbb{N}, \mathrm{n}$ chia hết cho $\mathrm{n}+1$ ".

1.7. Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau:
P: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó";
Q : " Có một số thực cộng với chính nó bằng 0 ".

Bài 7. Cho tam giác $A B C$ với đường trung tuyến $A M$. Xét hai mệnh đề
$P$ : "Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ";
$Q$ : "Trung tuyến $A M$ bằng nửa cạnh $B C$ "
a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.
b) Phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.

Bài 8. Cho hai mệnh đề
$P$ : " 42 chia hết cho 5 ";
$Q$ : " 42 chia hết cho 10 "
Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai, tại sao?

Bài 9. Xét hai mệnh đề
$P:$ " 7 là số nguyên tố";

$Q$ : " $6!+1$ chia hết cho 7 "
Phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ bằng hai cách. Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
Bài 10. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: " $\forall n \in \mathbb{N}, n^2+n+1$ là số nguyên tố".
Mệnh đề phủ định đó đúng hay sai?

Bài 11. Xét tinh đúng sai của mệnh đề " $\forall x \in \mathbb{N}, x^2 \vdots 6 \Rightarrow x \vdots 6 "$.
Bài 12. Xét tinh đúng sai của mệnh đề "Với mọi giá trị $n$ thuộc tập hợp số nguyên, $n^2+1$ không chia hết cho 3 ".

Bài 13. Xét tinh đúng sai của mệnh đề "Tồn tại $n$ thuộc tập hợp số nguyên, $n^2+1$ chia hết cho 4 ".
Bài 14. Xét tinh đúng sai của mệnh đề "Nếu $2^a-1$ là số nguyên tố thì $a$ là số nguyên tố".
Bài 15. Xét tinh đúng sai của mệnh đề "Nếu $\forall n \in \mathbb{N}$ và $n^2: 5$ thì $n: 5$ ".
Bài 16. Xét tính đúng sai của mệnh đề: " $\exists n \in \mathbb{N}, n^3+3 n^2-4 n+1$ chia hết cho 6 ".
Bài 17. Xác định tính đúng, sai của mệnh đề A : " $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$ " và tìm mệnh đề phủ định của nó.
Bài 18. Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề $A:^{\prime \prime} \forall x \in \mathbb{R},-4 x^2+4 x-1 \leq 0^{\prime \prime}$ và xét tính đúng, sai của mệnh đề đó.
Bài 19. Xét mệnh đề chứa biến: $P(x): " x^3-3 x^2+2 x=0$ ". Có bao nhiêu giá trị của biến $x$ để mệnh đề trên là mệnh đề đúng ?