Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 đợt 1 năm học 2024 – 2025 liên trường THPT: Quỳnh Lưu – Hoàng Mai – Nguyễn Xuân Ôn – Diễn Châu 2 – Nghi Lộc 3 – Thái Hòa – Cờ Đỏ, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An.

Đề thi gồm 02 phần:
1. Phần trắc nghiệm (08 điểm).
+ Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, gồm 12 câu, tổng 3,0 điểm.
+ Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai, gồm 4 câu, tổng 4,0 điểm.
+ Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn, gồm 2 câu, tổng 1,0 điểm.
2. Phần tự luận (12 điểm).

Trích dẫn Đề KSCL học sinh giỏi Toán 12 đợt 1 năm 2024 – 2025 liên trường THPT – Nghệ An:
+ Aladin nhặt được cây bút thần. Bút thần cho chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: “Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được bút thần và bút thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay”. Bút thần chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với bút thần cho ngày hôm sau (biết rằng mỗi ngày sau khi Aladin thực hiện xong các điều ước thì bút thần sẽ biến mất và trừ điều ước cuối cùng thì các điều ước còn lại của Aladin ở mỗi ngày là khác nhau). Sau 5 ngày gặp bút thần, tổng số điều ước khác nhau của Aladin là?
+ Hai đội bóng chuyền A và B đấu với nhau một trận gồm nhiều hiệp đấu. Biết rằng mỗi hiệp đấu không có kết quả hòa và đội nào thắng 3 hiệp trước thì là đội chiến thắng chung cuộc. Trong mỗi hiệp đấu, xác suất để đội A thắng nhiều hơn 12% so với xác suất đội B thắng. Tính xác suất để đội A giành chiến thắng chung cuộc, biết rằng kết quả của các hiệp đấu là độc lập nhau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
+ Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48 tháng. Lãi suất ngân hàng cố định 0,8%/ tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là sau 1 tháng kể từ khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền còn nợ ngân hàng. Tính tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ.

PHÀ̀N I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, gồm 12 câu, tổng 3,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.(Mỗi câu đúng $\mathbf{0 , 2 5}$ điểm)

Câu 1. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$, điểm $P$ thuộc cạnh $S A$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(S A D)$ và $(P M N)$ là
A. $P D$.
B. đường thẳng qua $P$ và song song song với $M C$.
C. đường thẳng qua $P$ và song song song với $A C$.
D. đường thẳng qua $P$ và song song song với $B C$.

Câu 2. Nếu $D_0$ là chênh lệch nhiệt độ ban đầu giữa một vật $M$ và các vật xung quanh, và nếu các vật xung quanh có nhiệt độ $T_S$, thì nhiệt độ của vật $M$ tại thời điểm $t$ được mô hình hóa bởi hàm số: $T(t)=T_S+D_0 \cdot e^{-k t}(1)$ (trong đó $k$ là hằng số dương phụ thuộc vào vật $M$ ). Một con gà tây nướng được lấy từ lò nướng khi nhiệt độ của nó đã đạt đến $195^{\circ} F$ và được đặt trên một bàn trong một căn phòng có nhiệt độ là $65^{\circ} \mathrm{F}$. Biết rằng sau nửa giờ nhiệt độ của gà tây là $150^{\circ} \mathrm{F}$. Hỏi nhiệt độ của gà tây sau 60 phút gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $123^{\circ} F$.
B. $121^{\circ} F$.
C. $120^{\circ} \mathrm{F}$.
D. $124^{\circ} F$.

Câu 3. Một thùng đựng 25 viên bi được đánh số từ 1 đến 25 , mỗi bi mang một số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, xác suất để các số ghi trên bi tạo thành cấp số cộng là
A. $\frac{9}{1265}$.
B. $\frac{91}{12650}$.
C. $\frac{4}{575}$.
D. $\frac{2}{275}$.

Câu 4. Có hai chiếc cọc cao 10 m và 30 m lần lượt đặt tại hai vị trí $A, B$. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24 m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí $M$ trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh $C$ và $D$ của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?
A. $A M=4 m, B M=20 m$.
B. $A M=6 \mathrm{~m}, B M=18 \mathrm{~m}$.
C. $A M=12 m, B M=12 m$.
D. $A M=7 \mathrm{~m}, B M=17 \mathrm{~m}$.

Câu 5. Một căn nhà có dạng là một hình lăng trụ ngũ giác đứng với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính thể tích căn nhà.

A. $254,4\left(m^3\right)$.
B. $151,2\left(m^3\right)$.
C. $254,3\left(m^3\right)$.
D. $302,4\left(m^3\right)$.

Câu 6. Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=1,5 \cos \left(\frac{t \pi}{4}\right)$; trong đó $t$ là thời gian được tính bằng giây và quãng đường $h=|x|$ được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng mấy lần?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai, gồm 4 câu, tổng $\mathbf{4 , 0}$ điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Một mô hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng 12 cm và chiều cao bằng 16 cm . Hãy cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) $A B / /(S C D)$.
b) Gọi $M$ là điểm nằm trên cạnh $S D$ sao cho $S M=2 M D$. Mặt phẳng $(A B M)$ cắt $S C$ tại $N$. Thể tích của khối chóp $S . A B N M$ bằng $426,67 \mathrm{~cm}^2$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Góc nhị diện $[S, B C, D]$ có độ lớn bằng $69^{\circ} 26^{\prime}$ (kết quả làm tròn đến phút).
d) Khoảng cách giữa $A D$ và mặt phẳng $(S B C)$ bằng $11,23 \mathrm{~cm}$. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Trong một chương trình tư vấn tuyển sinh có 7 khách mời tham gia tư vấn, gồm 4 nam là $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ và 3 nữ là $\mathrm{X}, \mathrm{Y}, \mathrm{Z}$. Kết thúc chương trình, các khách mời đã giải đáp 7 câu hỏi. Thông tin được ghi nhận trong chương trình là:
- Mỗi người giải đáp tối đa hai câu và không có người nào giải đáp hai câu liên tiếp.
- Câu đẩu tiên và câu cuối cùng được giải đáp bởi hai khách mời nữ.

- Q giải đáp hai câu và Y giải đáp sau khi $Q$ đã giải đáp xong.
- Nếu N giải đáp ít nhất một câu thì M cũng giải đáp ít nhất một câu.
- P hoặc không giải đáp câu nào hoặc giải đáp hai câu.

Hãy cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) Danh sách giải đáp của các khách mời, theo thứ tự từ đầu đến cuối có thể là $\mathrm{X}, \mathrm{P}, \mathrm{N}, \mathrm{Q}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{Y}$.
b) Nếu N giải đáp hai câu thì P giải đáp câu thứ hai.
c) Nếu người giải đáp câu thứ tư cũng là người giải đáp câu thứ sáu thì Z không giải đáp câu thứ bảy.
d) Hai khách mời N và P có ít nhất một người không giải đáp câu nào.