DÃY SỐ: 

Định nghĩa 1.1: 

Ta có khái niệm về dãy số hữu hạn như sau:
©) Mỗi hàm số $u:\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; m\} \mapsto \mathbb{R} \quad\left(m \in \mathbb{N}^*\right)$ được gọi là một dãy số hữu hạn. Do mỗi số nguyên dương $k(1 \leq k \leq m)$ tương ứng đúng một số $u_k$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: $u_1$; $u_2 ; \ldots ; u_m$.
© Số $u_1$ được gọi là số hạng đầu, số $u_m$ được gọi là số hạng cuối của dãy số đó.
Định nghĩa 1.2. Ta có khái niệm về dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) như sau:
© Mỗi hàm số $u: \mathbb{N}^* \mapsto \mathbb{R}$ được gọi là một dãy số vô hạn.
Do mỗi số nguyên dương $n$ tương ứng với đúng một số $u_n$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: $u_1, u_2, \ldots, u_n, \ldots$
Dãy số đó còn được viết tắt là $\left(u_n\right)$.
© Số $u_1$ gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số $u_2$ gọi là số hạng thư hai, ..., số $u_n$ được gọi là số hạng thú $n$ và là số hạng tổng quát của dãy số đó.

B - CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ: 
Định nghĩa 1.3: 

 Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:
1. Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
2. Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
3. Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

4. Cho bằng phương pháp truy hồi.
C-DÃY SỐ TÃNG, DÃY SỐ GIẢM:
$\longleftrightarrow$ Định nghĩa 1.4. Ta có định nghĩa:
© Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
© Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
A Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn, dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=(-1)^n$ có dạng khai triển là $-1,1,-1, \ldots$ không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

D-DÃY SỐ BỊ CHẶN
Định nghĩa 1.5:

 Ta có định nghĩa:
© Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \leq M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
© Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n \geq m$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số $M$ và $m$ sao cho $m \leq u_n \leq M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Ví dụ 4 (NB). Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=3 n-2$. Lời giải.

Năm số hạng đầu của dãy số là $1,4,7,10,13$.
Số hạng thứ 100 của dãy là $u_{100}=3 \cdot 100-2=298$.
Ví dụ 5. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n-1}{3 n+1}$.
a) Tìm ba số hạng đầu tiên.
b) Tính $u_{50}$ và $u_{99}$.
Lời giải.
a) Ba số hạng đầu tiên là: $u_1=0 ; u_2=\frac{1}{7} ; u_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$.
b) Ta có $u_{50}=\frac{50-1}{3 \cdot 50+1}=\frac{49}{151} ; u_{99}=\frac{99-1}{3 \cdot 99+1}=\frac{98}{298}=\frac{49}{149}$.

Ví dụ 6. Dãy số Fibonacci là dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi: $u_1=1, u_2=1$ và $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ với mọi $n \geq 3$. Viết mười số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$.
. Lời giải.
Ta có $u_1=u_2=1$.
Thay $n=3$ vào công thức truy hồi của dãy số ta được $u_3=u_2+u_1=1+1=2$.
Thay $n=4$ vào công thức truy hồi của dãy số ta được $u_4=u_3+u_2=2+1=3$.
Cứ như thế ta tìm được 10 số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$ là $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55$.

Bài 1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát cho bởi
a) $u_n=3 n-2$;
b) $u_n=3 \cdot 2^n$;
c) $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$.
.: Lời giải.
a) $u_1=3 \cdot 1-2=1 ; u_2=3 \cdot 2-2=4 ; u_3=3 \cdot 3-2=7 ; u_4=3 \cdot 4-2=10 ; u_5=3 \cdot 5-2=13$; $u_{100}=3 \cdot 100-2=298$.
b) $u_1=3 \cdot 2^1=6 ; u_2=3 \cdot 2^2=12 ; u_3=3 \cdot 2^3=24 ; u_4=3 \cdot 2^4=48 ; u_5=3 \cdot 2^5=96 ; u_{100}=3 \cdot 2^{100}$.
c) $u_1=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2 ; u_2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4} ; u_3=\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=\frac{64}{27} ; u_4=\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=\frac{625}{256} ; u_5=\left(1+\frac{1}{5}\right)^5=$ $\frac{1296}{625} ; u_{100}=\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}$.

Bài 2. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát $u_n$ cho bởi công thức sau:
a) $u_n=2 n^2+1$.
b) $u_n=\frac{(-1)^n}{2 n-1}$.
c) $u_n=\frac{2^n}{n}$.
d) $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$.
Lời giải.
a) Năm số hạng đầu của dãy số là
$$
u_1=3 ; u_2=9 ; u_3=19 ; u_4=33 ; u_5=51 .
$$

b) Năm số hạng đầu của dãy số là
$$
u_1=-1 ; u_2=\frac{1}{3} ; u_3=-\frac{1}{5} ; u_4=\frac{1}{7} ; u_5=-\frac{1}{9} .
$$
c) Năm số hạng đầu của dãy số là
$$
u_1=2 ; u_2=2 ; u_3=\frac{8}{3} ; u_4=4 ; u_5=\frac{32}{5} .
$$
d) Năm số hạng đầu của dãy số là
$$
u_1=2 ; u_2=\frac{9}{4} ; u_3=\frac{64}{27} ; u_4=\frac{625}{256} ; u_5=\frac{7776}{3125} .
$$

Bài 3. Cho dãy số $\left(u_n\right)$, biết $u_n=(-1)^n \cdot \frac{2^n}{n}$. Tìm số hạng $u_3$.
(A) $u_3=-\frac{8}{3}$.
(B) $u_3=2$.
(c) $u_3=-2$.
(D) $u_3=\frac{8}{3}$.
Lời giái.

Ta có
$$
u_3=(-1)^3 \cdot \frac{2^3}{3}=-\frac{8}{3} .
$$

Chọn đáp án (A)

Bài 4. Cho dãy số $\left(u_n\right)$, biết $u_n=\frac{2 n^2-1}{n^2+3}$. Tìm số hạng $u_5$.
(A) $u_5=\frac{1}{4}$.
(B) $u_5=\frac{7}{4}$.
(C) $u_5=\frac{17}{12}$.
(D) $u_5=\frac{71}{39}$.
Lời giải.

Ta có $u_5=\frac{2 \cdot 5^2-1}{5^2+3}=\frac{49}{28}=\frac{7}{4}$.
Chọn đáp án (B)
Bài 5. Cho dãy số $u_n$ bao gồm các số nguyên tố. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số.
. Lời giải.
Ta có $u_1=2, u_2=3, u_3=5, u_4=7, u_5=11$.
Vậy số hạng thứ 5 của dãy số là 11 .
Bài 6. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}u_1=5 \\ u_{n+1}=u_n+n\end{array}\right.$. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số.
(A) 11 .
(B) 15 .
(C) 16 .
(D) 12 .
: Lời giái.
Ta có $u_2=u_1+1=6, u_3=u_2+2=8, u_4=u_3+3=11, u_5=u_4+4=15$.
Chọn đáp án (B)
Bài 7. Cho dãy số xác định bằng hệ thức truy hồi
$$
u_1=1, u_n=3 u_{n-1}+2 \text { với } n \geq 2
$$

Viết ba số hạng đầu của dãy số này.
: Lời giái.
Ta có: $u_1=1, u_2=3 u_1+2=3 \cdot 1+2=5, u_3=3 u_2+2=3 \cdot 5+2=17$.
Bài 8. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ : $\left\{\begin{array}{l}u_1=5 \\ u_{n+1}=u_n+n\end{array}\right.$. Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy?
Lời giái.

Ta có $u_1=5, u_2=6, u_3=8, u_4=11, u_5=16, u_6=20$.

$$
\text { Vậy số } 20 \text { là số hạng thứ } 6 \text {. }
$$

Bài 13. Người ta nuôi cấy 5 con vi khuẩn ecoli trong môi trường nhân tạo. Cứ 30 phút thì vi khuẩn ecoli sẽ nhân đôi 1 lần. Tính số lượng vi khuẩn thu được sau $1,2,3$ lần nhân đôi.
Lời giải.

Dặt $u_1=5$, gọi số vi khuẩn sau $n$ lần phân chia là $u_{n+1}$, khi đó ta có dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn
$$
u_1=5, u_{n+1}=2 u_n
$$

Ta có $u_2=10, u_3=20, u_4=40$.
Bài 14. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $u_n=\frac{n^2+3 n+7}{n+1}$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy.
b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
:. Lời giải.
a) Ta có năm số hạng đầu của dãy $u_1=\frac{1^2+3.1+7}{1+1}=\frac{11}{2} ; u_2=\frac{17}{3} ; u_3=\frac{25}{4} ; u_4=7 ; u_5=\frac{47}{6}$.
b) Ta có: $u_n=n+2+\frac{5}{n+1}$, do đó $u_n$ nguyên khi và chỉ khi $\frac{5}{n+1}$ nguyên hay $n+1$ là ước của 5 . Diều đó xảy ra khi $n+1=5 \Leftrightarrow n=4$. Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là $u_4=7$.

Bài 16. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $\left\{\begin{array}{l}u_1=99 \\ u_{n+1}=u_n-2 n-1, n \geq 1\end{array}\right.$. Hỏi số -861 là số hạng thứ mấy?
Lời giải.

Ta có
$$
\begin{array}{lrr}
u_n & = & u_{n-1}-2 n+1 \\
u_{n-1} & = & u_{n-2}-2 n+3 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
u_3 & = & u_2-2 n+2 n-5 \\
u_2 & = & u_1-2 n+2 n-3
\end{array}
$$

Suy ra
$$
\begin{aligned}
& u_n=u_1-2 n \cdot(n-1)+1+3+5+\cdots+(2 n-5)+(2 n-3) \\
& u_n=99-2 n^2+2 n+\frac{n-1}{2} \cdot[2 \cdot 1+(n-2) \cdot 2]=100-n^2
\end{aligned}
$$

Giả sử $u_n=-861 \Rightarrow n^2=961 \Rightarrow n=31$ (vì $n \in \mathbb{N}$ ). Vậy số -861 là số hạng thứ 31 .

Câu 34. Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào là dãy số giảm?
(A) $u_n=\frac{n^2+1}{n}$.
(B) $u_n=(-1)^n \cdot\left(2^n+1\right)$.
(C) $u_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.
(D) $u_n=\sin n$.
. Lời giải.
Xét $u_n=\sin n \Rightarrow u_{n+1}-u_n=2 \cos \left(n+\frac{1}{2}\right) \sin \frac{1}{2}$ có thể dương hoặc âm phụ thuộc $n$ nên đáp án sai. Hoặc dễ thấy $\sin n$ có dấu thay đổi trên $\mathbb{N}^*$ nên dãy $\sin n$ không tăng, không giảm.
Xét $u_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac{1}{n} \Rightarrow u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}>0$ nên dãy đã cho tăng nên đáp án sai.
Xét $u_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$, dãy $\sqrt{n}+\sqrt{n-1}>0$ là dãy tăng nên suy ra $u_n$ giảm.
Xét $u_n=(-1)^n\left(2^n+1\right)$ là dãy thay dấu nên không tăng không giảm, nên đáp án đúng.
Cách trắc nghiệm
Xét $u_n=\sin n$ có dấu thay đổi trên $\mathbb{N}^*$ nên dãy này không tăng không giảm.
Xét $u_n=\frac{n^2+1}{n}$, ta có $\left\{\begin{array}{l}n=1 \rightarrow u_1=2 \\ n=2 \rightarrow u_2=\frac{5}{2}\end{array} \Rightarrow u_1<u_2 \Rightarrow u_n=\frac{n^2+1}{n}\right.$ không giảm.
Xét $u_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$, ta có $\left\{\begin{array}{l}n=1 \rightarrow u_1=1 \\ n=2 \rightarrow u_2=\sqrt{2}-1\end{array} \Rightarrow u_1>u_2\right.$ nên dự đoán dãy này giảm.
Xét $u_n=(-1)^n\left(2^n+1\right)$ là dãy thay dấu nên không tăng không giảm.
Cách CASIO.
Các dãy $\sin n ;(-1)^n\left(2^n+1\right)$ có dấu thay đổi trên $\mathbb{N}^*$ nên các dãy này không tăng không giảm nên loại các đáp án này.
Xét hai đáp án còn lại, ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng $T A B L E$.
Chẳng hạn kiểm tra đáp án $u_n=\frac{n^2+1}{n}$, ta vào chức năng $T A B L E$ nhập $F(X)=\frac{X^2+1}{X}$ với thiết lập Start $=1$, End $=10$, Step $=1$.
Nếu thấy cột $F(X)$ các giá trị tăng thì loại $u_n=\frac{n^2+1}{n}$ nếu ngược lại nếu thấy cột $F(X)$ các giá trị giảm dần thị chọn $u_n=\frac{n^2+1}{n}$.
Chọn đáp án (C)

Bài 42 (VD). Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ sau, dãy số nào bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn?
a) $u_n=n^2+5$.
b) $u_n=\frac{3 n+1}{2 n+5}$.
c) $u_n=(-1)^n \cos \frac{\pi}{2 n}$.
d) $u_n=\frac{n^2+2 n}{n^2+n+1}$.
e) $u_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+2 n}+n}$.
Lời giải.
a) Dãy số bị chặn dưới bởi 6 , không bị chặn trên.
b) Dãy $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới bởi 0 . Vì $u_n<\frac{3 n+1}{2 n}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2 n}<\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$ nên dãy số bị chặn trên bởi $\frac{5}{2}$. Vậy dãy số bị chặn.
c) Ta có $\left|u_n\right| \leq 1$ nên dãy số bị chặn trên bởi 1 , bị chặn dưới bởi -1 .
d) Dãy số bị chặn dưới bởi 0 . Vì $u_n<\frac{n^2+2 n}{n^2}=1+\frac{2}{n} \leq 3$ nên dãy số bị chặn trên. Vậy dãy số bị chặn.
e) Ta có $0<u_n \leq 1$ vậy dãy số bị chặn.

Bài 37 (NB). Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{3 n}{n^2+9}$ bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$.
: Lời giải.
Với mọi $n \geq 1$, ta có $\frac{3 n}{n^2+9} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow n^2+9 \leq 6 n \Leftrightarrow(n-3)^2 \leq 0$ (đúng).
Vậy dãy số đã cho bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$.
Bài 38 (NB). Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ xác đinh bởi $u_n=\frac{8 n+3}{3 n+5}$ là một dãy số bị chặn.
: Lời giải.
Ta có $u_n>0, \forall n \geq 1$. Suy ra dãy số bị chặn dưới.
Mặt khác $u_n=\frac{8 n+3}{3 n+5}<\frac{8 n+3}{3 n}=\frac{8}{3}+\frac{1}{n}<\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$. Do đó dãy số bị chặn trên bởi $\frac{11}{3}$. Vậy dãy số đã cho bị chặn.
Bài 39 (TH). Xét tính bị chặn của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{3 n+1}{n+3}$.
Lời giải.
Với $n \in \mathbb{N}^*$ ta có $u_n=\frac{3 n+1}{n+3}>0$.
Nên dãy $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới bởi 0 .
Mặt khác $u_n=\frac{3 n+1}{n+3}=\frac{3 n+9-8}{n+3}=3-\frac{8}{n+3}<3, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Nên dãy $\left(u_n\right)$ bị chặn trên bởi 3 .
Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn.