Đề kiểm tra giữa học kỳ 2 môn Toán 10 năm học 2023 2024 trường THPT chuyên Quốc học Huế tỉnh Thừa Thiên Huế.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 ĐIỂM)
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn?
A. $x^2+y^2+3 x-2 y+1=0$.
B. $x^2+y^2-2 x y-2 y+4=0$.
C. $x^2+y^2+x+y+2=0$.
D. $x^2+y^2-4 x+7=0$.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2+y^2+x-2 y+m=0$ là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ $O x y$.
A. $m>-\frac{5}{4}$.
B. $m>-5$.
C. $m<\frac{5}{4}$.
D. $m<5$.

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M(3 ; 0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1 ; 2)$.
A. $2 x-y+6=0$.
B. $x+2 y-3=0$.
C. $x+2 y+3=0$.
D. $2 x-y-6=0$.

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho hai đường thẳng $\Delta: 4 x-y+2=0$ và $\Delta^{\prime}: x+y+1=0$. Xác định toạ độ giao điểm $M$ của $\Delta$ và $\Delta^{\prime}$.
A. $M\left(-\frac{2}{5} ; \frac{3}{5}\right)$.
B. $M\left(-\frac{3}{5} ;-\frac{2}{5}\right)$.
C. $M\left(\frac{3}{5} ; \frac{2}{5}\right)$.
D. $M\left(-\frac{2}{5} ;-\frac{3}{5}\right)$.

Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho điểm $A(3 ; 3)$ và đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=3-4 t \\ y=-2+3 t\end{array}\right.$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$.
A. $d(A, \Delta)=\frac{20}{3 \sqrt{2}}$.
B. $d(A, \Delta)=\frac{21}{5}$.
C. $d(A, \Delta)=4$.
D. $d(A, \Delta)=\frac{20}{\sqrt{7}}$.

Câu 6: Giải phương trình $\sqrt{2 x-3}=\sqrt{x+5}$.
A. $x=8$.
B. $x=4$.
C. $x=3$.
D. $x=6$.

Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, viết phương trình đường tròn có tâm $I(4 ; 1)$ và bán kính $R=2$.
A. $(x-4)^2+(y-1)^2=4$.
B. $(x+4)^2+(y+1)^2=4$.
C. $(x-4)^2+(y-1)^2=2$.
D. $(x+4)^2+(y+1)^2=2$.

Câu 9: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho đường thẳng $\Delta: x-3 y+2=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $H(-2 ;-8)$.
B. $G(5 ;-1)$.
C. $F(1 ; 1)$.
D. $E(2 ; 0)$.

Câu 16: Cho hàm số $f(x)=3 x+1$. Tính giá trị của hàm số tại $x=2$.
A. $f(2)=8$.
B. $f(2)=7$.
C. $f(2)=6$.
D. $f(2)=5$.

Câu 17: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho đường tròn có phương trình $(x+2)^2+(y+1)^2=3$. Xác định toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn.
A. $I(-2 ;-1), R=3$.
B. $I(2 ; 1), R=3$.
C. $I(-2 ;-1), R=\sqrt{3}$.
D. $I(2 ; 1), R=\sqrt{3}$.

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho điểm $M(2 ;-4)$ và đường thẳng $\Delta: 3 x+y=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta^{\prime}$ đi qua $M$ và song song với $\Delta$.
A. $\Delta^{\prime}: 3 x+y-6=0$.
B. $\Delta^{\prime}: 3 x+y-2=0$.
C. $\Delta^{\prime}: 3 x+y-1=0$.
D. $\Delta^{\prime}: 3 x+y+8=0$.

Câu 19: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
A. $y=\frac{x^2}{x+1}$.
B. $y=2 x+2$.
C. $y=\sqrt{x^2+4}$.
D. $y=1-x^2$.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho đường tròn $(C):(x+3)^2+y^2=5$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M(-2 ; 2)$.
A. $x-2 y+2=0$.
B. $x+2 y+2=0$.
C. $x-2 y-2=0$.
D. $x+2 y-2=0$.

Câu 21: Hàm số $y=2 x^2+x-6$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right)$.
B. $\left(-\frac{1}{4} ;+\infty\right)$.
C. $\left(-\frac{1}{2} ;+\infty\right)$.
D. $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?
A. $\Delta: x-y+2=0$ và $\Delta^{\prime}:-2 x+2 y-4=0$.
B. $\Delta: y+1=0$ và $\Delta^{\prime}: x-1=0$.
C. $\Delta: x+2 y+6=0$ và $\Delta^{\prime}: 2 x+y-4=0$.
D. $\Delta: x+y-1=0$ và $\Delta^{\prime}: 2 x+2 y+3=0$.

Câu 23: Cho phương trình $\sqrt{2 x^2-x+3}=x+2$. Sau khi bình phương hai vế và rút gọn, ta được phương trình nào dưới đây?
A. $x^2+3 x-1=0$.
B. $x^2-5 x-1=0$.
C. $x^2-x-1=0$.
D. $x^2-3 x-1=0$.

Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho hai đường thẳng $\Delta: 3 x+2 y+3=0$ và $\Delta^{\prime}: x-y+5=0$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^{\prime}$. Tính $\cos \varphi$.
A. $\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{26}}$.
B. $\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{10}}$.
C. $\cos \varphi=\frac{5}{\sqrt{26}}$.
D. $\cos \varphi=\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3 ; 2)$. Vectơ $\vec{u}$ nào dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của $\Delta$ ?
A. $\vec{u}=(-3 ; 2)$.
B. $\vec{u}=(-2 ; 3)$.
C. $\vec{u}=(2 ;-3)$.
D. $\vec{u}=(4 ;-6)$.

PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)
Câu 36: (1,0 điểm)
a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4}$.
b) Giải phương trình: $\sqrt{2 x^2+5 x-3}=3 x-5$.

Câu 37: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho ba điểm $A(0 ; 3), B(-1 ; 0)$ và $C(2 ; 1)$.
a) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $A M$.
b) Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng $A M$, đi qua điểm $B$ và tiếp xúc với đường thẳng $A C$.

Câu 38: (0,5 điểm) Người ta dựng một khung pano quảng cáo có hình dạng parabol với chiều rộng là $A B=3 \mathrm{~m}$. Để cố định hình dáng, từ trung điểm $O$ của $A B$ được hàn các thanh sắt nối đến vị trí $C, D, E$ trên khung với $O C=O D=1,5 \mathrm{~m}$ và $\widehat{A O C}=\widehat{B O D}=45^{\circ}, O E \perp A B$ (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao $O E$ của khung.