Đề kiểm tra giữa học kỳ 2 môn Toán 11 năm học 2023 – 2024 trường THPT chuyên Quốc học Huế, tỉnh Thừa Thiên Huế.

Trích dẫn Đề giữa kỳ 2 Toán 11 năm 2023 – 2024 trường THPT chuyên Quốc học Huế

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)$ là điểm nào dưới đây?
A. $D$.
B. $B$.
C. $C^{\prime}$.
D. $B^{\prime}$.

Câu 2: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $S A \perp(A B C D)$. Mặt phẳng $(S C D)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(A B C D)$.
B. $(S A D)$.
C. $(S B D)$.
D. $(S A C)$.

Câu 3: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A \perp(A B C D)$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ lên các đường thẳng $S B$ và $S D$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $S C \perp(A M N)$.
B. $C D \perp(A M N)$.
C. $S A \perp(A M N)$.
D. $B C \perp(A M N)$.

Câu 4: Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Khi đó giá trị của $a^{\log _a 2024}$ bằng
A. 2024 .
B. $2024 a$.
C. $2024^a$.
D. $a^{2024}$.

Câu 5: Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\log _2(x-1)>0$ là
A. $S=(2 ;+\infty)$.
B. $S=(1 ;+\infty)$.
C. $S=\varnothing$.
D. $S=\mathbb{R}$.

Câu 6: Trong không gian, cho hai đường thẳng $a, b$ và mặt phẳng $(P)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
A. $\left.\begin{array}{l}a / / b \\ a \perp(P)\end{array}\right\} \Rightarrow b \perp(P)$.
B. $\left.\begin{array}{l}a \perp b \\ b / /(P)\end{array}\right\} \Rightarrow a \perp(P)$.
C. $\left.\begin{array}{l}a \perp b \\ b \perp(P)\end{array}\right\} \Rightarrow a \perp(P)$.
D. $\left.\begin{array}{l}a \perp b \\ b \perp(P)\end{array}\right\} \Rightarrow a / /(P)$.

Câu 7: Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình $5^{2 x-2} \geq 5^x$ là
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 3 .

Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Câu 9: Cho hình chóp $S \cdot A B C D$ có $S A \perp(A B C D)$. Hình chiếu của tam giác $S B C$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ là
A. tam giác $S A B$.
B. tam giác $A B C$.
C. tam giác $S A D$.
D. tam giác $B C D$.

Câu 10: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông, $S A \perp(A B C D)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $S A \perp S C$.
B. $B D \perp S D$.
C. $S A \perp B C$.
D. $A C \perp S D$.

Câu 11: Cho $a$ là số thực dương, khác 1. Cho các mệnh đề sau:
(I) $: \log _a a=a$
(II) $: \log _a a^2=2$
(III) $: \log _a 1=0$
$(I V): \log _a 2=2 a$
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .

Câu 12: Số nghiệm thực của phương trình $\log \left(x^2-2 x+2\right)=1$ là
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1 .

Câu 13: Cho hình chóp tam giác $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông đỉnh $B, S A \perp(A B C)$. Hình chóp $S . A B C$ có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 1 .

Câu 14: Cho hình chóp cụt đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Tứ giác $A A^{\prime} B^{\prime} B$ là hình gì?
A. Hình vuông.
B. Hình thoi.
C. Hình thang cân.
D. Hình chữ nhật.

Câu 15: Cho $a$ là số thực khác 0 và $n$ là một số nguyên dương, $a^{-n}$ bằng
A. $\frac{1}{a^n}$.
B. $-a^n$.
C. $\frac{n}{a}$.
D. $a^{\frac{1}{n}}$.

Câu 16: Tập nghiệm của phương trình $2^{2 x}=16$ là
A. $\{8\}$.
B. $\{2\}$.
C. $\varnothing$.
D. $\{4\}$.

Câu 16: Tập nghiệm của phương trình $2^{2 x}=16$ là
A. $\{8\}$.
B. $\{2\}$.
C. $\varnothing$.
D. $\{4\}$.

Câu 17: Trong các khẳng định sau về hình lăng trụ đều, khẳng định nào là sai?
A. Các mặt bên là những hình vuông.
B. Các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
C. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.
D. Đáy là đa giác đều.

Câu 18: Số 16 có bao nhiêu căn bậc 4?
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .

Câu 19: Cho tứ diện $S \cdot A B C$ có $A B C$ là tam giác cân tại $C, S A \perp(A B C)$. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, S B$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $A K \perp S B$.
B. $C H \perp A K$.
C. $C H \perp S B$.
D. $C H \perp S A$.

Câu 20: Cho $a$ là số thực dương và $m, n$ là các số thực tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
A. $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$.
B. $a^m+a^n=a^{m+n}$.
C. $a^m \cdot a^n=a^{m \cdot n}$.
D. $a^m+a^n=a^{m \cdot n}$.

Câu 21: Cho hình chóp $S \cdot A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$ và $S A=S B=S C$. Gọi $I$ là trung điểm $A C, G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
A. $S A \perp(A B C)$.
B. $S G \perp(A B C)$.
C. $S B \perp(A B C)$.
D. $S I \perp(A B C)$.

Câu 22: Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Mặt phẳng $\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right)$ vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
A. $A^{\prime} C$.
B. $A^{\prime} C^{\prime}$.
C. $A^{\prime} D$.
D. $A^{\prime} B$.

Câu 23: Cho $x$ là số thực dương, khác $1, \sqrt{x^3}$ bằng
A. $x^{\frac{3}{2}}$.
B. $x$.
C. $x^{\frac{1}{3}}$.
D. $x^{\frac{2}{3}}$.

Câu 24: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a, S A \perp(A B C D)$ và $S A=a \sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng $S D$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng
A. $45^0$.
B. $60^{\circ}$.
C. $90^{\circ}$.
D. $30^{\circ}$.

Câu 25: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông tâm $O$ và $S A=S B=S C=S D$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ là điểm nào dưới đây?
A. $O$.
B. $A$.
C. D.
D. $C$.

Câu 26: Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $B, S C \perp(A B C)$. Gọi $M$ là trung điểm $A C$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $B M \perp A C$.
B. $(S A B) \perp(S A C)$.
C. $(S A B) \perp(S B C)$.
D. $(S B M) \perp(S A C)$.

Câu 27: Tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $\log _2(x-1)$ xác định là
A. $x \in(1 ;+\infty)$.
B. $x \in(-\infty ; 1)$.
C. $x \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$.
D. $x \in(-1 ;+\infty)$.

Câu 28: Tập xác định của hàm số $y=e^x$ là
A. $(0 ;+\infty)$.
B. $\mathbb{R}$.
C. $(e ;+\infty)$.
D. $\mathbb{R} \backslash\{0\}$.

Câu 29: Cho $\alpha, \beta$ là hai số thực thỏa mãn $2024^\alpha>2024^\beta$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\alpha>\beta$.
B. $\alpha=\beta$.
C. $\alpha \leq \beta$.
D. $\alpha<\beta$.

Câu 30: Cho tứ diện $A B C D$ có $\triangle A B C$ và $\triangle D B C$ là hai tam giác đều. Gọi $I$ là trung điểm của $B C$, $A H$ là đường cao của tam giác $A I D$. Đường thẳng $B C$ không vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
A. $A C$.
B. $A H$.
C. $A D$.
D. $A I$.

Câu 31: Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A \perp(A B C)$ và $S A=A B$. Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng
A. $90^{\circ}$.
B. $45^0$.
C. $30^{\circ}$.
D. $60^{\circ}$.

Câu 32: Cho $a, b, c>0$ và $a>1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. $\log _a b>c \Leftrightarrow b>c$.
B. $\log _a b>\log _a c \Leftrightarrow b>c$.
C. $a^b>a^c \Leftrightarrow b>c$.
D. $\log _a b<\log _a c \Leftrightarrow b<c$.

Câu 33: Với các số thực dương $a, b$ bất kì, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\log (a b)=\log a+\log b$.
B. $\log \frac{a}{b}=\frac{\log a}{\log b}$.
C. $\log (a b)=\log a \cdot \log b$.
D. $\log \frac{a}{b}=\log b-\log a$.

Câu 34: Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Góc giữa hai đường thẳng $A A^{\prime}$ và $C D$ bằng
A. $30^{\circ}$.
B. $90^{\circ}$.
C. $45^0$.
D. $60^{\circ}$.

Câu 35: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. Góc giữa hai đường thẳng $S D$ và $B C$ bằng góc nào trong các góc dưới đây?
A. $(S D, A B)$.
B. $(S D, A D)$.
C. $(S C, B C)$.
D. $(S B, B C)$.
II. PHẦN TỬ LUẬN

Câu 1 (1,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt[5]{a^{15} b^5}}{\sqrt[3]{a^6 b^3}}$ (với $a, b$ là những số thực dương).
b) Đặt $a=\log _3 2 ; b=\log _3 11 ; c=\log _3 23$, hãy biểu diễn $\log _3 2024$ theo ba số $a, b, c$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh $a, \widehat{A B C}=60^{\circ}, S A \perp(A B C D)$ và $S A=a \sqrt{2}$.
a) Chứng minh rằng $S C \perp B D$.
b) Tính góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(S A D)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh $a, \widehat{A B C}=60^{\circ}, S A \perp(A B C D)$ và $S A=a \sqrt{2}$.
a) Chứng minh rằng $S C \perp B D$.
b) Tính góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(S A D)$.

Câu 3 (0,5 điểm). Ngày 1/1/2024, ông Thành gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất $1,7 \%$ / 1 năm, kỳ hạn 1 tháng. Bắt đầu từ tháng $2 / 2024$, đều đặn đầu mỗi tháng, ông Thành rút 4 triệu đồng để chi tiêu. Gọi $K_n$ (triệu đồng) là số tiền còn lại trong ngân hàng sau lần rút thứ $n$ của ông Thành (mỗi lần, ông Thành rút đúng 4 triệu đồng), giả sử lãi suất ngân hàng không thay đổi hàng năm, tìm số $n$ nhỏ nhất sao cho $K_n<4$ (triệu đồng).

Câu 4 (0,5 điểm). Kim tự tháp Kheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng $230 \mathrm{~m}$, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng $219 m$ (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com).
Tính (gần đúng) góc giữa mặt phẳng $(S A B)$ và mặt phẳng $(S B C)$ của kim tự tháp như hình trên.