Câu 1: (I,5 điểm)
Cho biểu thức $A=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{x+2 \sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right)(x \sqrt{x}-\sqrt{x})$ với $x \geq 0$ và $x \neq 1$.
a) Rút gọn biểu thức $\mathrm{A}$.
b) Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Trên mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho parabol $(\mathrm{P}): \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}$ và đường thẳng $(\mathrm{d}): \mathrm{y}=\mathrm{kx}+2$. Gọi I là giao điểm của $(\mathrm{d})$ và trục tung. Tìm tất cả các giá trị của $\mathrm{k}$ để đường thẳng $(\mathrm{d})$ cắt $(\mathrm{P})$ tại hai điểm phân biệt $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2} ; \mathrm{y}_{2}\right)$ thỏa mãn $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}$ và $\mathrm{IA}=2 \mathrm{IB}$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^{3}-x y^{2}-(x-y+1)(x+y)=0 \\ x-2 y^{2}-y+1=0\end{array}\right.$
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm $m$ để phương trình $3 x^{2}+4(m-1) x-m^{2}-4 m-5=0$ ( $x$ là ẩn số) có hai nghiệm $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ sao cho biếu thức $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{x}_{1}^{3}}{\mathrm{x}_{2}^{3}}+\frac{\mathrm{x}_{2}^{3}}{\mathrm{x}_{1}^{3}}$ đạt giá tri lớn nhất.
b) Giải phương trình $\left(x^{2}+6\right) \sqrt{x^{2}+6 x+12}-\left(3 x^{2}+10 x+28\right) \sqrt{x+1}=0$.
Cân 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ và đây $\mathrm{BC}$ cố định không đi qua $\mathrm{O}$. Điểm $\mathrm{A}$ thay đổi trên cung lớn $\mathrm{BC}$ sao cho $\mathrm{ABC}$ là tam giác nhọn và $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$. Gọi $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ là các đường cao và $\mathrm{H}$ là trực tâm của tam giác $\mathrm{ABC}$. Gọi $\mathrm{K}$ là giao điểm cùa hai đường thẳng $\mathrm{BC}$ và $\mathrm{EF}$; $\mathrm{I}$ là giao điểm thứ hai của $\mathrm{KA}$ với $(\mathrm{O}) ; \mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC} ; \mathrm{N}$ là giao điểm thứ hai của $\mathrm{AH}$ và $(\mathrm{O})$. Chứng minh:
a) Tứ giác AIFE là tứ giác nội tiếp;
b) $\mathrm{Ba}$ điểm $\mathrm{M}, \mathrm{H}$, I thẳng hàng;
c) Tứ giác INMO là tứ giác nội tiếp;
d) Đường thẳng IN luôn đi qua một điểm cố định khi $\mathrm{A}$ thay đổi.
Câu 5: (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x^{3}-x^{2}(y+1)+x(7+y)-4-y=0$.
b) Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x y+y z+z x=3$. Chứng minh:
$$
\frac{x}{x^{2}+15}+\frac{y}{y^{2}+15}+\frac{z}{z^{2}+15} \leq \frac{3+x+y+z}{32}
$$