Đề thi vào 10 môn Toán chuyên 2022 – 2023 trường chuyên Hoàng Văn Thụ Hoà Bình

Câu I. (3, 0 diểm)
1) Rút gọn biều thức: $A=\sqrt{3+2 \sqrt{2}}-\sqrt{3-2 \sqrt{2}}$.
2) Tìm $m$ để các đường thẳng: $y=2 x+4(d) ; y=3 x+5\left(d^{\prime}\right) ; y=-2 m x+m-3(\Delta)$ cùng đi qua một điểm.
3) Cho phương trình: $x^{2}-2 m x+2 m-1=0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm dương.
Câu II. (3,0 diểm)
1) Tìm $x, y$ nguyên thoả mãn: $x y+2 x+y-1=0$.
2) Một cửa hàng điện máy thực hiện chương trình khuyến mãi giảm giá tất cả các mặt hàng $10 \%$ theo giá niêm yết và nếu hóa đơn khách hàng trên 10 triệu sẽ được giàm thêm $2 \%$ số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 15 triệu sẽ được giảm thêm $4 \%$ số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 40 triệu sẽ được giàm thêm $8 \%$ số tiền trên hóa đơn. Ông An muốn mua một ti vi với giá niêm yết là 9200000 đồng và một tủ lạnh với giá niêm yết là 7100000 đồng. Hỏi với chương trình khuyến mãi của cưa hàng, ông An phải trả bao nhiêu tiền?
3) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x^{2}-6 y^{2}=x y \\ 3 x^{2}+2 y=x y+x\end{array}\right.$.

Câu III. (3,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $B(B C>A B)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $A C=2 R$. Kè dây cung $B D$ vuông góc với $A C, H$ là giao điềm của $A C$ và $B D$. Trên $H C$ lấy điểm $E$ sao cho $E$ đối xứng với $A$ qua $H$. Đường tròn tâm $O^{\prime}$ đường kính $E C$ cắt đoạn $B C$ tại $I$ ( khác $C$ ).
1) Chứng minh rằng: $C I \cdot C A=C E \cdot C B$.
2) Chứng minh rằng: $\mathrm{Ba}$ điểm $D, I, E$ thẳng hàng.
3) Chứng minh rằng: $H I$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $E C$.
4) Khi $B$ thay đổi thì $H$ thay đổi, xác định vị trí của $H$ trên $A C$ để diện tích tam giác $O ' I H$ lớn nhất.
Câu IV. (1,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số thực $x, y$ dương thỏa mãn điều kiện:
$$
\sqrt{22 x^{2}+36 x y+6 y^{2}}+\sqrt{6 x^{2}+36 x y+22 y^{2}}=x^{2}+y^{2}+32 \text {. }
$$
2) Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}=a+b$. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+a^{2} b+a b^{2} \leq 4$.
HÉT