Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán năm 2022 2023 sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc

Câu 1. (3,5 điểm)
a. Giải phương trình $\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+4 x+1\right)=-4 x^{2}$.
b. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}-2 \sqrt{15+2 x-x^{2}}=-4$.
c. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+x y+3 x=14 y \\ \left(x^{2}+3 x\right)(x+y-3)=18 y\end{array}\right.$.
Câu 2. (1,5 điểm)
a. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và $q$ sao cho $p^{2}+3 p q+4 q^{2}$ là một số chính phương.
b. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số tự nhiên $x, y$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}-6 x y=p-8$.
Câu 3. (1,0 điểm)
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a \leq 3$. Chứng minh rằng:
a. $a+b+c \leq \frac{3 \sqrt{2}}{2}$
b. $\frac{2 a b+3}{(a+b)^{2}}+\frac{2 b c+3}{(b+c)^{2}}+\frac{2 c a+3}{(c+a)^{2}} \geq 6$.

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$ sao cho hai tia $B A$ và $C D$ cắt nhau tại điểm $E$, hai tia $A D$ và $B C$ cắt nhau tại điểm $F$. Gọi $G, H$ lần lượt là trung điểm của $A C, B D$. Đường phân giác của các góc $\widehat{B E C}$ và $\widehat{A F B}$ cắt nhau tại điểm $K$. Gọi $I$. là hình chiếu vuông góc của $K$ trên đường thẳng $F F$. Chứng minh rằng:
a. $\widehat{D E F}+\widehat{D F E}=\widehat{E B F}$ và $K L=\sqrt{L E \cdot L F}$.
b. $\widehat{G E D}=\widehat{H E A}$ và $E G \cdot F H=E H \cdot F G$.
c. $\frac{M B}{M C}+\frac{N B}{N A}=2 \cdot \frac{K H}{K G}$; trong đó $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $E K$ và $B C, N$ là giao điểm của hai đường thẳng $F K$ và $A B$.
Câu 5. (1,0 điểm)
Thầy Hùng viết các số nguyên $1,2,3, \ldots, 2021,2022$ lên bảng. Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kì trên bảng. Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:
a. 3 số có tổng các bình phương là hợp số.
b. 504 số có tổng các bình phương chia hết cho 4 .