Trích Đề thi học kỳ 2 lớp 11 môn Toán năm 2017 2018 (tự luận)

I. TỰ LUẬN 

Câu 1: (1,5 điểm) Tìm giới hạn:

a) $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{2x+1}$                                                        

b) $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2018)$                                 

c) $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x-3}$

Câu 2: (2 điểm)

1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\tan x-2{{x}^{3}}$                                          b) $y=x.\sin x+\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}$

2) Cho hàm số $y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-2$

3) Cho đa thức $P(x)$ bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{P'({{x}_{1}})}+\frac{1}{P'({{x}_{2}})}+\frac{1}{P'({{x}_{3}})}=0$.

Câu 3: (1,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,\text{ }SA\bot \left( ABC \right),$ góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ .$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

a) Chứng minh $SA\bot AM,\,\,\left( SAM \right)\bot \left( SBC \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$.