[DAYHOCTOAN.VN]-ĐỀ THI HSG LỚP 9 MÔN TOÁN VĨNH PHÚC NĂM 2012 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1 (3,0 điểm).

1. Cho $fx=\dfrac{x^3}{1-3x+3x^2}$. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

$A=f\left(\dfrac{1}{2012}\right)+f\left(\dfrac{2}{2012}\right)+...+f\left(\dfrac{2010}{2012}\right)+f\left(\dfrac{2011}{2012}\right)$

2. Cho biểu thức $P=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\dfrac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^2-\sqrt{x}}$

Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left(x; y\right)$ thỏa mãn ${\left(x+y\right)}^3={\left(x-y-6\right)}^2$.

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho $a, b, c, d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện:

$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2012}$

Chứng minh rằng: $\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\left(d^2+1\right)\ge 2012$

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ba đường tròn $\left(O_1\right), \left(O_2\right)$ và $O$ (kí hiệu $X$ chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử $\left(O_1\right), \left(O_2\right)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và $\left(O_1\right), \left(O_2\right)$lần lượt tiếp xúc trong với $O$ tại $M_1,M_2$. Tiếp tuyến của đường tròn $\left(O_1\right)$ tại điểm I cắt đường tròn $O$ lần lượt tại các điểm $A, A'$. Đường thẳng $AM_1$ cắt lại đường tròn $\left(O_1\right)$ tại điểm $N_1$, đường thẳng $AM_2$ cắt lại đường tròn $\left(O_2\right)$ tại điểm $N_2$.

1. Chứng minh rằng tứ giác $M_1N_1N_2M_2$ nội tiếp và đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $N_1N_2$.

2. Kẻ đường kính $PQ$ của đường tròn $O$ sao cho $PQ$ vuông góc với $AI$ (điểm $P$ nằm trên cung $\overset\frown{AM_1}$ không chứa điểm $M_2$). Chứng minh rằng nếu $PM_1, QM_2$ không song song thì các đường thẳng $AI, PM_1$ và $QM_2$ đồng quy

Câu 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô mầu, trong đó mỗi một điểm được tô bởi một trong 3 mầu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng mầu hoặc đôi một khác mầu.

LINK TẢI FILE WORD ĐỀ NÀY CHO QUÝ THẦY CÔ: ĐỀ THI HSG VĨNH PHÚC 2012 MÔN TOÁN FILE WORD