Một số phương trình lượng giác nâng cao lớp 11 có lời giải thi THPT quốc gia 2018 do thầy Nguyễn Đắc Tuấn biên soạn.

Bài 1. Cho phương trình \((\sin{x}+\frac{\sin3x+\cos3x}{1+2\sin2x})=\frac{3+\cos2x}{5}.\)Tìm các nghiệm của phương trình thuộc \((0;2\pi).\)

Bài giải.

Điều kiện: \(\sin2x\neq -\frac{1}{2}\)

Ta có: \(VT=\frac{\sin{x}+2\sin{2x}.\sin{x}+\sin3x+\cos3x}{1+2\sin2x}\)

=\(\frac{\sin{x}+\cos{x}-\cos3x+\sin3x+\cos3x}{1+2\sin2x}\)

=\(\frac{(\sin3x+\sin{x})+\cos{x}}{1+2\sin2x}\)

\(=\frac{2\sin2x.\cos{x}+\cos{x}}{1+2\sin2x}=\frac{\cos{x}(1+2\sin2x)}{1+2\sin2x}=\cos{x}.\)

Do đó phương trình đã cho tương đương với:

 \(\cos{x}=\frac{3+\cos2x}{5}\iff \cos2x+3=5\cos{x}\)

\(\iff 2\cos^2x-1+3-5\cos{x}=0\)

\(\iff 2\cos^2x-5\cos{x}+2=0\)

\(\iff \cos{x}=2 (ptvn)\)hoặc \(\cos{x}=\frac{1}{2}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)

\(\iff x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi,k\in \mathbb{Z}\)

So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình đã cho là: \(x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi,k\in \mathbb{Z}\)

Vì \(x\in(0;2\pi)\) nên \(x=\frac{\pi}{3};x=\frac{5\pi}{3}.\)

Bài 2. Cho phương trình: \(\cos5x.\cos{x}=\cos4x.\cos2x+3\cos2x-2.\) Tìm các nghiệm của phương trình thuộc \((-\pi;\pi).\)

Bài giải.

Phương trình tương đương với: \(\frac{1}{2}(\cos4x+\cos6x)=\frac{1}{2}(\cos2x+\cos6x)+3\cos2x-2\)

\(\iff \frac{1}{2}cos4x=\frac{1}{2}\cos2x+3\cos2x-2\)

\(\iff \cos4x=7\cos2x-4\)

\(\iff 2\cos^22x-7\cos2x+3=0\)

\(\iff \cos2x=3 \ (ptvn)\)  hoặc \( \cos2x=\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}\)

\(\iff 2x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi\)

\(\iff x=\pm \frac{\pi}{6}+k\pi,k\in \mathbb{Z}.\)

Vì \(x\in(-\pi;\pi)\) nên \(x=-\frac{5\pi}{6};x=-\frac{\pi}{6};x=\frac{\pi}{6};x=\frac{5\pi}{6}.\)

Bài 3. Giải phương trình: \(\sin^4x+\sin^4(x+\frac{\pi}{4})+\sin^4(x-\frac{\pi}{4})=\frac{5}{4}.\)

Bài giải.

Phương trình tương đương: \(\sin^4x+\cos^4[\frac{\pi}{2}-(x+\frac{\pi}{4})]+\sin^4(x-\frac{\pi}{4})=\frac{5}{4}\)

\(\iff \sin^4x+\cos^4(x-\frac{x}{4})+\sin^4(x-\frac{\pi}{4})=\frac{5}{4}\)

Ta có: \(\sin^4a+\cos^4a=(\sin^2a+\cos^2a)^2-2\sin{a}.\cos{a}\)

\(=1-2(\frac{1}{2}.\sin2a)^2=1-\frac{1}{2}.\sin^22a\)

Do đó: \(\sin^4(x-\frac{\pi}{4})+\cos^4(x-\frac{\pi}{4})=1-\frac{1}{2}\sin^22(x-\frac{\pi}{4})\)

=\(1-\frac{1}{2}\sin^2(2x-\frac{\pi}{2})=1-\frac{1}{2}\sin^2(\frac{\pi}{2}-2x)\)

=\(1-\frac{1}{2}.\cos^22x.\)

Ta lại có: \(\sin^4x=(\sin^2x)^2=(\frac{1-\cos2x}{2})^2=\frac{1-2\cos2x+\cos^22x}{2}\)

Do đó: 

Phương trình đã cho tương đương với: \(\frac{1-2\cos2x+\cos^22x}{2}+1-\frac{1}{2}.\cos^22x=\frac{5}{4}\)

\(\iff \cos^22x+2\cos2x=0\)

\(\iff \cos2x=-2(ptvn)\) hoặc \(\cos2x=0\)

\(\iff 2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\iff x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z}.\)

Xem thêm bài viết liên quan: 

Phương trình lượng giác lớp có lời giải chi tiết dành cho lớp 11 và lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

Bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11

Đề ôn tập chương 1 lớp 11 đại số và giải tích hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác có lời giải chi tiết ôn thi THPT quốc gia

Bài tập luyện tập: 

Bài 1. Giải phương trình: \(4\sin^23x+2(\sqrt{3}+1)\cos3x-\sqrt{3}=4.\)

Bài 2. Giải phương trình: \(\cos2x+9\cos{x}+5=0.\)

Bài 3. Giải phương trình: \(4\cos^2(2-6x)+16\cos^2(1-3x)=13.\)

Bài 4. Giải phương trình:\(\frac{1}{\cos^2x}-(3+\sqrt{3})\tan{x}-3+\sqrt{3}=0.\)

Bài 5. Giải phương trình: \(\frac{3}{\cos{x}}+\tan^2x=9.\)

Bài 6. Giải phương trình: \(9-13\cos{x}+\frac{4}{1+\tan^2x}=0.\)

Bài 7. Giải phương trình: \(\frac{1}{\sin^2x}=\cot{x}+3.\)

Bài 8. Giải phương trình: \(\frac{1}{\cos^2x}+\cot^2{x}=5.\)

Bài 9. Giải phương trình: \(\cos2x-3\cos{x}=4\cos^2\frac{x}{2}.\)

Bài 10. Giải phương trình: \(2\cos2x+\tan{x}=\frac{4}{5}.\)