Bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11 có lời giải do thầy Nguyễn Đắc Tuấn biên soạn

Phần I. Bài tập về hàm số lượng giác

Chú ý:

Tập xác định của hàm số y = sinx và y= cos x là \(\mathbb{R}.\)
Tập xác định của hàm số y = tanx là: \(D=\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\}.\)
Tập xác định của hàm số y = cotx là: \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi,k\in \mathbb{Z}\}.\)
\(-1\leq\sin{x}\leq1,\forall x\in \mathbb{R}.\)
\(-1\leq\cos{x}\leq1,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác:

a) \(y=\sqrt{2-\sin{x}};\)

b) \(y=\frac{1-\cos2x}{\sin{x}};\)

c) \(y=\tan(2x+\frac{\pi}{3});\)

d) \(y=\cot(x-\frac{\pi}{6});\)

e) \(y=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\sin{x}}};\)

f) \(y=\tan2x+\cot{\frac{x}{2}}.\)

Hướng dẫn giải.

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2-\sin{x}\geq0\iff \sin{x}\leq 2\)

(đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\)vì \(-1\leq\sin{x}\leq1,\forall x\in \mathbb{R}.\))

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(D=\mathbb{R}.\)

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\sin{x}\neq0\iff x\neq k\pi(k \in \mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi,k\in \mathbb{Z}\}.\)

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\cos(2x+\frac{\pi}{3})\neq0\iff 2x+\frac{\pi}{3}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\)

\(x\neq\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là:

\(D=\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z}.\}.\)

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\sin(x-\frac{\pi}{6})\neq0\iff x-\frac{\pi}{6}\neq {k\pi},k\in \mathbb{Z} \iff x\neq \frac{\pi}{6}+{k\pi},k\in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là:

\(D=\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{6}+k\pi,k\in \mathbb{Z}.\}.\)

e) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{cases} \frac{1-\cos{x}}{1+\sin{x}} \geq0 & \\ 1+\sin{x}\neq0 & \\ \end{cases} \ (*)\)

Ta lại có: \(\begin{cases} -1\leq \sin{x}\le1 & \\ -1\leq \cos{x}\le1,\forall x\in \mathbb{R} & \\ \end{cases}\) nên \(\begin{cases} 1+\sin{x}\geq0 & \\ 1-\cos{x}\geq 0,\forall x\in \mathbb{R} & \\ \end{cases}\) Do đó (*) \(\iff 1-\sin{x}\neq 0\iff \sin{x}\neq 1 \iff x\neq k\pi,k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi,k\in \mathbb{Z}.\}.\)

f) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{cases} \cos{2x}\neq 0 & \\ \sin{\frac{x}{2}}\neq 0,\forall x\in \mathbb{R} & \\ \end{cases}\)\(\iff \begin{cases} x\neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} & \\ x\neq k2\pi,\forall x\in \mathbb{R} & \\ \end{cases}\)

Vậy tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2};k2\pi,k\in \mathbb{Z}.\}.\)

Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ:

Hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Khi đó:

Hàm số y =f(x) gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x\in D,-x\in D\)và \(f(-x)=f(x).\)
Hàm số y =f(x) gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x\in D,-x\in D\)và \(f(-x)=-f(x).\)

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

a) \(y=-3\sin{x}.\)

b) \(y=\sin{x}-\cos{x}.\)

c) \(y=\sin{x}.\cos^2x+\cot{x}.\)

Hướng dẫn giải.

a) TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)

\(\forall x\in \mathbb{R},-x\in \mathbb{R}\) và \(f(-x)=-3\sin({-x})=3\sin{x}=-f(x)\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có: \(\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\in\mathbb{R}\) mà \(f(-\frac{\pi}{2})=-1;f(\frac{\pi}{2})=1\) nên \(f(-\frac{\pi}{2})\neq f(\frac{\pi}{2});f(-\frac{\pi}{2})\neq -f(\frac{\pi}{2})\)

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

c) Hàm số lẻ. (Bạn đọc làm tương tự nhé)

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) \(y=2\cos{x}+2.\)

b) \(y=2\sin(x+\frac{\pi}{3})-1.\)

c) \(y=\sqrt{1-cos2x}+3.\)

Hướng dẫn:

Dùng tập giá trị của sinx và cosx: