Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT cấp tỉnh năm học 2023 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên.

Câu I ( 4,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-3}$ có đồ thị là $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ $O x, O y$ lần lượt tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $O B=4 O A$.
2. Gọi $\left(C_m\right)$ là đồ thị của hàm số $y=2 x^3-3(2 m+1) x^2+6\left(m^2+m\right) x+2024$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu điểm $M$ sao cho tồn tại hai giá trị khác nhau $m_1, m_2$ mà $M$ là điểm cực đại của đồ thị $\left(C_{\mathrm{m}}\right)$ và là điểm cực tiểu của đồ thị $\left(C_{\mathrm{m}_2}\right)$.

Câu II (4,0 điểm)
1. Giải bất phương trình $9.5^{x+1}+25.3^{x+1} \leq 152 \cdot \sqrt{15^x},(x \in \mathbb{R})$.
2. Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $\log _{\sqrt{2}} \frac{x+y}{x^2+y^2+1}=2 x(x-2)+2 y(y-2)$. Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\frac{x+2 y-2}{x+y}$.

Câu III (6,0 điểm)
1. Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$ và các điểm $A, B, C$ nằm trên mặt cầu $(S)$ sao cho $A B=6, A C=8$, $B C=10$ và khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(A B C)$ bằng $\sqrt{11}$. Tính thể tích của khối cầu $(S)$.
2. Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên $(A B C)$ là trung điềm của $B C$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với các cạnh bên và cắt các cạnh bên $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ của hình lăng trụ lần lượt tại $I, J, K$. Biết góc giữa mặt phẳng $\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)$ và mặt phẳng $\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$ bằng $30^{\circ}$ và diện tích tam giác $I J K$ bằng $\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa $C C^{\prime}$ và $A^{\prime} B$.
3. Cho hình chóp $S . A B C$ có $A B=5 ; B C=6 ; C A=9$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $2 \sqrt{5}$; khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(S A C)$ bằng $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$; khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng $\frac{8 \sqrt{10}}{5}$; hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(A B C)$ nằm ngoài tam giác $A B C$ và thuộc miền góc $\widehat{B A C}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Câu IV (2,0 điểm): Tính nguyên hàm $I=\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\cos x \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$.
Câu V (2,0 điểm): Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 13 mà chữ số hàng đơn vị bằng 3 .

Câu VI (2,0 điểm): Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ là $f^{\prime}(x)=5 x\left(4-x^2\right) \sqrt{x^2+2}$.
Giả sử $a, b$ là hai số thực thay đổi sao cho $-2 \leq a<b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=f(a)-f(b)$.