Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Toán 12 sách mới 

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên miền $D$.
- Số $M$ gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $D$, kí hiệu $M=\underset{D}{\max } f(x)$ nếu: $f(x) \leq M, \forall x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f\left(x_o\right)=M$.
- Số $m$ gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $D$, kí hiệu $m=\underset{D}{\min } f(x)$ nếu: $f(x) \geq m, \forall x \in D$ và tồn tại $x_o \in D$ sao cho $f\left(x_o\right)=m$.
Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số mà không chỉ rõ tập $D$ thì ta tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số đó trên cả tập xác định của nó.
2. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm.

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và có đạo hàm trên khoảng $(a ; b)$, có thể một số hữa hạn điểm. Nếu $f^{\prime}(x)=0$ chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng $(a ; b)$ thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$ như sau:
- Bước 1: Tìm các điểm $x_1, x_1, \ldots, x_n$ thuộc khoảng $(a ; b)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng hoặc không tồn tại.

- Buớc 2: Tính $f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \ldots, f\left(x_n\right), f(a), f(b)$.
- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được ở bước 2 và kết luận
+ Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$.
+ Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$.

Nhận xét:
- Nếu hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $[a ; b]$ thì: $\left\{\begin{array}{l}\max f(x)=f(b) \\ {[a, b]} \\ \min f(x)=f(a) \\ {[a, b]}\end{array}\right.$
- Nếu hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $[a ; b]$ thì: $\left\{\begin{array}{l}\max f(x)=f(a) \\ {[a, b]} \\ \min f(x)=f(b) \\ {[a, b]}\end{array}\right.$

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-3 x^2-9 x+10$ trên đoạn $[-2 ; 2]$ bằng
A. -12 .
B. 10 .
C. 15 .
D. -2 .

Câu 15. Trên đoạn $[1 ; 5]$, hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A. $x=5$.
B. $x=2$.
C. $x=1$.
D. $x=4$.

Câu 16. Trên đoạn $[0 ; 3]$, hàm số $y=x^3-3 x+4$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A. $x=1$.
B. $x=0$.
C. $x=3$.
D. $x=2$.

Câu 17. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3 x+5$ trên đoạn $[0 ; 2]$ là:
A. $\min _{[2 ; 4]} y=0$.
B. $\min _{[2 ; 4]} y=3$.
C. $\min _{[2 ; 4]} y=5$.
D. $\min _{[2 ; 4]} y=7$.

Câu 18. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-8 x^2+16 x-9$ trên đoạn $[1 ; 3]$ là:

A. $\max _{[1 ; 3]} f(x)=0$.
B. $\max _{[1 ; 3]} f(x)=\frac{13}{27}$.
C. $\max _{[1 ; 3]} f(x)=-6$.
D. $\max _{[1 ; 3]} f(x)=5$.

Câu 19. Hàm số $y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-5 ;-3]$ bằng:
A. $-\frac{13}{12}$.
B. $\frac{11}{6}$.
C. $-\frac{47}{60}$.
D. $-\frac{11}{6}$.

Câu 20. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ trên đoạn $[0 ; 3]$ là:
A. $\min _{[0 ; 3]} y=-3$.
B. $\min _{[0 ; 3]} y=\frac{1}{2}$.
C. $\min _{[0 ; 3]} y=-1$.
D. $\min _{[0 ; 3]} y=1$.

Câu 21. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{2 x^2+3 x+3}{x+1}$ trên đoạn $[0 ; 2]$ lần lượt là:
A. $\frac{17}{3} ; 3$
B. $\frac{17}{3} ;-5$.
C. $3 ;-5$.
D. $-3 ; 5$.

Câu 22. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất và $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x \sqrt{1-x^2}$. Khi đó $M+m$ bằng
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. -1 .

Câu 23. Hàm số $y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:
A. $\sqrt{2} ; 1$.
B. 1; 0 .
C. $2 ; \sqrt{2}$.
D. $2 ; 1$.

Câu 24. Hàm số $y=\cos 2 x-3$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0 ; \pi]$ bằng:
A. -4 .
B. -3 .
C. -2 .
D. 0 .

Câu 24. Hàm số $y=\cos 2 x-3$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0 ; \pi]$ bằng:
A. -4 .
B. -3 .
C. -2 .
D. 0 .

Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=5 \cos x-\cos 5 x$ với $x \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right]$ là:
A. $\min _{\left[\frac{-\pi}{4}: \frac{\pi}{4}\right]} y=4$
B. $\min _{\left[\frac{-\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{4}\right]} y=3 \sqrt{2}$.
C. $\min _{\left[\frac{-\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{4}\right]} y=3 \sqrt{3}$.
D. $\min _{\left[\frac{-\pi}{4}: \frac{\pi}{4}\right]} y=-1$.

Câu 26. Hàm số $y=\cos ^2 x-2 \cos x-1$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn $[0 ; \pi]$ lần lượt bằng $y_1 ; y_2$. Khi đó tích $y_1 \cdot y_2$ có giá trị bằng:
A. $\frac{3}{4}$.
B. -4 .
C. $\frac{3}{8}$.
D. 1 .

Câu 27. Hàm số $y=\cos 2 x-4 \sin x+4$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ là:
A. $\frac{\pi}{2} ; 0$.
B. $5 ; 1$.
C. $5 ;-1$.
D. $9 ; 1$.

Câu 28. Hàm số $f(x)=\frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3} ; \frac{5 \pi}{6}\right]$ có giá trị lớn nhất là $M$, giá trị nhỏ nhất là $m$. Khi đó $M-m$ bằng
A. $2-\frac{2}{\sqrt{3}}$.
B. 1 .
C. $\frac{2}{\sqrt{3}}-1$.
D. -1 .

Câu 29. Hàm số $y=\sqrt{1+2 \sin x \cdot \cos x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ tại điểm có hoành độ là:
A. $x=\frac{\pi}{4}$.
B. $x=\frac{\pi}{6}$.
C. $x=0$ và $x=\frac{\pi}{2}$.
D. $x=\frac{\pi}{3}$.

Câu 30. Hàm số $y=\sin x+\cos x$ có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất lần lượt là:
A. $-2 ; 2$.
B. $-\sqrt{2} ; \sqrt{2}$.
C. $0 ; 1$.
D. $-1 ; 1$.

Câu 31. Hàm số $y=\sin ^4 x+\cos ^4 x$ có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất lần lượt là:
A. $-2 ; 1$.
B. $0 ; 2$.
C. $\frac{1}{2} ; 1$.
D. $0 ; 1$.

Câu 32. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên đoạn $[2 ; 3]$ bằng
A. $\frac{\ln 2}{2}$.
B. $\frac{\ln 3}{3}$.
C. $\frac{3}{e^2}$.
D. $\frac{1}{e}$.

Câu 33. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\left(x^2-2\right) e^{2 x}$ trên đoạn $[-1 ; 2]$ bằng:
A. $2 e^4$
B. $-e^2$
C. $2 e^2$
D. $-2 e^2$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 34. Cho hàm số $y=\sqrt{5-4 x}$ trên đoạn $[-1 ; 1]$.
A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\max _{[-1 ; 1]} y=\sqrt{5}$ và $\underset{[-1 ; 1]}{ } y=0$.
B. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\max _{[-1 ; 1]} y=1$ và $\min _{[-1 ; 1]} y=-3$.
C. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\max _{[-1 ; 1]} y=3$ và $\min _{[-1 ; 1]} y=1$.
D. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\max _{[-1 ; 1]} y=0$ và $\min _{[-1: 1]} y=-\sqrt{5}$.

Câu 35. Cho hàm số $y=x+\frac{9}{x}$ trên đoạn $[2 ; 4]$.
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\min _{[2 ; 4]} y=6$.
B. Giá trị lớn nhất của hàm số là $\max _{[2 ; 4]} y=\frac{13}{2}$
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\min _{[2 ; 4]} y=-6$.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\min _{[2 ; 4]} y=\frac{25}{4}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 36. Trên đoạn $[-1 ; 2]$, hàm số $y=x^3+3 x^2+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ bao nhiêu?

Câu 37. Hàm số $y=f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-1 ; 2]$ lần lượt là bao nhiêu?
Câu 38. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$.
Câu 39. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$.
Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2 \sin x-\frac{4}{3} \sin ^3 x$ trên $[0 ; \pi]$.
Câu 41. Tìm có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\cos x(\sin x+1)$ trên đoạn $[0 ; \pi]$.
Câu 42. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2^{x+1}-\frac{4}{3} \cdot 8^x$ trên $[-1 ; 0]$