Tìm tham số để hàm số phân thức hữu tỷ đồng biến trên khoảng cho trước lớp 12 vận dụng 

Câu 1: Cho hàm số $y=\frac{m x+2}{2 x+m}, m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0 ; 1)$. Tìm số phần tử của tập $S$.
A. 1 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải:
$\mathrm{TXĐ} D=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{-m}{2}\right\}$
Ta có $: y^{\prime}=\frac{m^2-4}{(2 x+m)^2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0 ; 1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-4<0 \\ -\frac{m}{2} \notin(0 ; 1)\end{array}\right.$
Kết hợp $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m=\{0 ; 1\} \Rightarrow$ có 2 giá trị nguyên của tham số $m$.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{\cos x-2}{\cos x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$.
A. $m \in(2 ;+\infty)$.
B. $m \in[1 ; 2)$.
C. $m \in(-\infty ; 0]$.
D. $m \in(0 ;+\infty)$.
Lò̀ giải:
Điều kiện $\cos x \neq m$. Ta có: $x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow \cos x, \in(0 ; 1)$.

Ta có: $y^{\prime}=\frac{2-m}{(\cos x-m)^2} \cdot(\cos x)^{\prime}=\frac{m-2}{(\cos x-m)^2} \cdot \sin x$.
Yêu cầu bài toán $y^{\prime}>0, \forall x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2>0 \\ m \notin(0 ; 1)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2>0 \\ m \in(-\infty ; 0] \cup[1 ;+\infty)\end{array}\right.\right.$
$$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
m \in(2 ;+\infty) \\
m \in(-\infty ; 0] \cup[1 ;+\infty)
\end{array} \Leftrightarrow m \in(2 ;+\infty) .\right.
$$