Chủ đề phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ ôn học sinh giỏi Toán năm 2022 2023 

Biên soạn và tổng hợp: GV Nguyễn Đắc Tuấn   - Youtube: Đắc Tuấn official

Giải các phương trình: 

Câu 1. (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2018 - 2019) $2 x^2+2 x-3+3 \sqrt{x^2}+x+1=0$.

Câu 2. $\sqrt{2 x+3}+\sqrt{x+1}=3 x+2 \sqrt{2 x^2+5 x+3}-16$

Câu 3. $\sqrt{x^4-x^2+4}+\sqrt{x^4+20 x^2+4}=7 x$

HD: Chia 2 vế cho x. 

Câu 4. $2 x^2-\left(x^2+x-5\right) \sqrt{x-\frac{5}{x}}=10-2 x$. 

HD: Đặt $t= \sqrt{x-\frac{5}{x}$

Câu 5. $x^3-4 x^2-5 x+6=\sqrt[3]{7 x^2+9 x-4}$

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ và dùng tính đơn điệu hàm số 

Đăt $y=\sqrt[3]{7 x^2+9 x-4}$, ta có hê:: $\left\{\begin{array}{l}x^3-4 x^2-5 x+6=y \\ 7 x^2+9 x-4=y^3\end{array} \Rightarrow y^3+y=(x+1)^3+(x+1)\right.$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t$, ta thấy đây là hàm đơn điêu tăng. Từ phương trình
$$
f(y)=f[(x+1)] \Leftrightarrow y=x+1 \Leftrightarrow(x+1)=\sqrt[3]{7 x^2+9 x-4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=5 \\x=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\right.
$$

2. Hệ phương trình
a) Đặt ẩn phụ
Câu 6.  Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^2\left(y^2+1\right)+2 y\left(x^2+x+1\right)=3 \\ \left(x^2+x\right)\left(y^2+y\right)=1\end{array}\right.$

Hướng dẫn: Đăt $\left\{\begin{array}{l}a=x y+x \\ b=x y+y\end{array}\right.$, ta có hê:: $\left\{\begin{array}{l}a^2+2 b=3 \\ a b=1\end{array}\right.$

Câu 7. Giải hê phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=8 \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=2-2 \sqrt{x y}\end{array}\right.$.

Hướng dẫn: Đăt $\left\{\begin{array}{l}u=\sqrt{x} \\ v=\sqrt{y}\end{array}\right.$

Câu 8. Giải hê phương trình:
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x+\frac{1}{y}}+\sqrt{x+y-3}=3 \\
2 x+y+\frac{1}{y}=8
\end{array}\right.
$$

Hướng dẫn: 

Đăt $a=\sqrt{x+\frac{1}{v}}, b=\sqrt{x+y-3}, a, b \geq 0$

b) Phương pháp hàm số giải hệ phương trình: 

Câu 9. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(4 x^2+1\right) x+(y-3) \sqrt{5-2 y}=0 \\ 4 x^2+y^2+2 \sqrt{3-4 x}=7\end{array}\right.$

Câu 10. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x^3+x=\sqrt{\frac{y-1}{16}} \cdot(y+1) \\ x^2-y+3 x+1=0\end{array}\right.$

Câu 11. (Đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2017) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3-6 x^2+13 x=y^3+y+10 \\ \sqrt{2 x+y+2}-\sqrt{5-x-y}=x^3-3 x^2+10 y-8\end{array}\right.$

Câu 12. Giải hê phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^3+1=2\left(x^2-x+y\right) \\ y^3+1=2\left(y^2-y+x\right)\end{array} \quad(x, y \in R)\right.$

Hướng dẫn: Ta có hê $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^3-2 x^2+2 x+1=2 y \\ y^3-2 y^2+2 y+1=2 x\end{array}\right.$
Xét hàm số $f(t)=t^3-2 t^2+2 t+1, t \in R$.

Câu 13. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2 y-6+2 \sqrt{2 y+3}=0 \\ (x-y)\left(x^2+x y+y^2+3\right)=3\left(x^2+y^2\right)+2\end{array}\right.$.

Hướng dẫn: 

Điều kiên xác đinh: $y \geq-1,5$.
$$
(2) \Leftrightarrow x^3-y^3+3 x-3 y=3\left(x^2+y^2\right)+2 \Leftrightarrow(x-1)^3=(y+1)^3
$$

c) Phương pháp đưa về dạng tích: 

Câu 14. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x y+x+y=x^2-2 y^2 \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2 y-3}=3\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.

Hướng dẫn: pt (1) tương đương đương với: $(x+y)(1-x+2 y)=0$

Câu 15. Giải hê phương trình: $\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1} \\ x^2+x+12 \sqrt{y+1}=36\end{array}\right.$.
(Đề thi HSG tỉnh Kon Tum năm học 2018 - 2019)