Chủ đề phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ ôn học sinh giỏi Toán năm 2022 2023
dayhoctoan .vn ,Đăng ngày: 2023-04-04
Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé

Chủ đề phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ ôn học sinh giỏi Toán năm 2022 2023 

Biên soạn và tổng hợp: GV Nguyễn Đắc Tuấn   - Youtube: Đắc Tuấn official

Giải các phương trình: 

Câu 1. (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2018 - 2019) $2 x^2+2 x-3+3 \sqrt{x^2}+x+1=0$.

Câu 2. $\sqrt{2 x+3}+\sqrt{x+1}=3 x+2 \sqrt{2 x^2+5 x+3}-16$

Câu 3. $\sqrt{x^4-x^2+4}+\sqrt{x^4+20 x^2+4}=7 x$

HD: Chia 2 vế cho x. 

Câu 4. $2 x^2-\left(x^2+x-5\right) \sqrt{x-\frac{5}{x}}=10-2 x$. 

HD: Đặt $t= \sqrt{x-\frac{5}{x}$

Câu 5. $x^3-4 x^2-5 x+6=\sqrt[3]{7 x^2+9 x-4}$

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ và dùng tính đơn điệu hàm số 

Đăt $y=\sqrt[3]{7 x^2+9 x-4}$, ta có hê:: $\left\{\begin{array}{l}x^3-4 x^2-5 x+6=y \\ 7 x^2+9 x-4=y^3\end{array} \Rightarrow y^3+y=(x+1)^3+(x+1)\right.$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t$, ta thấy đây là hàm đơn điêu tăng. Từ phương trình
$$
f(y)=f[(x+1)] \Leftrightarrow y=x+1 \Leftrightarrow(x+1)=\sqrt[3]{7 x^2+9 x-4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=5 \\x=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\right.
$$

2. Hệ phương trình
a) Đặt ẩn phụ
Câu 6.  Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^2\left(y^2+1\right)+2 y\left(x^2+x+1\right)=3 \\ \left(x^2+x\right)\left(y^2+y\right)=1\end{array}\right.$

Hướng dẫn: Đăt $\left\{\begin{array}{l}a=x y+x \\ b=x y+y\end{array}\right.$, ta có hê:: $\left\{\begin{array}{l}a^2+2 b=3 \\ a b=1\end{array}\right.$

Câu 7. Giải hê phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=8 \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=2-2 \sqrt{x y}\end{array}\right.$.

Hướng dẫn: Đăt $\left\{\begin{array}{l}u=\sqrt{x} \\ v=\sqrt{y}\end{array}\right.$

Câu 8. Giải hê phương trình:
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x+\frac{1}{y}}+\sqrt{x+y-3}=3 \\
2 x+y+\frac{1}{y}=8
\end{array}\right.
$$

Hướng dẫn: 

Đăt $a=\sqrt{x+\frac{1}{v}}, b=\sqrt{x+y-3}, a, b \geq 0$

b) Phương pháp hàm số giải hệ phương trình: 

Câu 9. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(4 x^2+1\right) x+(y-3) \sqrt{5-2 y}=0 \\ 4 x^2+y^2+2 \sqrt{3-4 x}=7\end{array}\right.$

Câu 10. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x^3+x=\sqrt{\frac{y-1}{16}} \cdot(y+1) \\ x^2-y+3 x+1=0\end{array}\right.$

Câu 11. (Đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2017) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3-6 x^2+13 x=y^3+y+10 \\ \sqrt{2 x+y+2}-\sqrt{5-x-y}=x^3-3 x^2+10 y-8\end{array}\right.$

Câu 12. Giải hê phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^3+1=2\left(x^2-x+y\right) \\ y^3+1=2\left(y^2-y+x\right)\end{array} \quad(x, y \in R)\right.$

Hướng dẫn: Ta có hê $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^3-2 x^2+2 x+1=2 y \\ y^3-2 y^2+2 y+1=2 x\end{array}\right.$
Xét hàm số $f(t)=t^3-2 t^2+2 t+1, t \in R$.

Câu 13. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2 y-6+2 \sqrt{2 y+3}=0 \\ (x-y)\left(x^2+x y+y^2+3\right)=3\left(x^2+y^2\right)+2\end{array}\right.$.

Hướng dẫn: 

Điều kiên xác đinh: $y \geq-1,5$.
$$
(2) \Leftrightarrow x^3-y^3+3 x-3 y=3\left(x^2+y^2\right)+2 \Leftrightarrow(x-1)^3=(y+1)^3
$$

c) Phương pháp đưa về dạng tích: 

Câu 14. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x y+x+y=x^2-2 y^2 \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2 y-3}=3\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.

Hướng dẫn: pt (1) tương đương đương với: $(x+y)(1-x+2 y)=0$

Câu 15. Giải hê phương trình: $\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1} \\ x^2+x+12 \sqrt{y+1}=36\end{array}\right.$.
(Đề thi HSG tỉnh Kon Tum năm học 2018 - 2019)

Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé