Đề chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc Gia môn Toán năm 2022 2023 sở GD&ĐT Đồng Nai

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Đồng Nai:
+ Cho f(x) là một đa thức bậc 100, với các hệ số nguyên, trong đó hệ số cao nhất bằng 1. Hỏi f(x) có nhiều nhất là bao nhiêu nghiệm nằm trong khoảng (0;1)?
+ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, tồn tại số nguyên dương n để n^n + 2023 chia hết cho 2^k.
+ Cho các số nguyên dương m, n sao cho m là một số lẻ và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng bảng m x n không thể được phủ khít bằng cách sử dụng các hình vuông 2 x 2 và 3 x 3.

Nội dung chi tiết đề: 

Bài 1.(4 điểm) Dãy số thực $\left(u_n\right)_{n-1.2 . .}$ thỏa mãn: với mọi $n \geq 1$ thi $\left(2-u_n\right) u_{n+1}-1$. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và hãy xác định giới hạn này,

Bài 2. (4 điểm) Cho $f(x)$ là một đa thức bạcc 100 , với các hệ số nguyén, trong đó hệ số cao nhất bằng 1. Hỏi $f(x)$ có nhiều nhất là bao nhiêu nghiệm nằm trong khoáng $(0 ; 1) ?$

Bài 3. (4 điểm) Hai đường tròn $\omega $và $\gamma $ có bán kính lần lượt là ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right),$tiếp xúc trong với nhau tại điểm $B.$ Dây cung $AC$ của $\gamma $ tiếp xúc với $\omega $ tại $L.$ Các đoạn thẳng $AB$ và $BC$ cắt lại $\omega $ tương ứng tại $M$ và $N$. Gọi ${{M}_{1}},{{N}_{1}}$ tương ứng là điểm đối xứng của $M$ và $N$ qua đường thẳng $BL;$ gọi ${{M}_{2}},{{N}_{2}}$ tương ứng là điểm đối xứng của $M,N$ qua đường thẳng AC. Các đường thẳng ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ và ${{N}_{1}}{{N}_{2}}$ cắt nhau tại $K.$

1) Chứng minh rằng $BL$ là phân giác của góc $ABC.$

2) Chứng minh rằng $BK$ vuông góc với $AC.$
Bài 4. (4 điểm) Chứng minh rằng vời mọi số nguyèn dương $k$, tồn tại só nguyćn dương $n$ đề $n^n+2023$ chia hết cho $2^{\prime}$.

Bài 5.(4 điểm) Cho các số nguyên dương $m, n$ sao cho $m$ là một só lé và $n$ khóng chia hết cho 3 . Chứng minh rằng bảng $m \times n$ không thé̉ được phủ khit bắng cách sừ dụng các hinh vuông $2 \times 2$ và $3 \times 3$.