Đề chọn đội dự tuyển Quốc Gia môn Toán năm 2022 2023 trường chuyên Quốc học Huế
dayhoctoan .vn ,Đăng ngày: 2022-09-30
Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé

Đề chọn đội dự tuyển Quốc Gia môn Toán năm 2022 2023 trường chuyên Quốc học Huế

Trích dẫn Đề chọn đội dự tuyển QG môn Toán năm 2022 – 2023 trường chuyên Quốc học Huế:
+ Cho P(x) là một đa thức có hệ số thực, khác đa thức không, thỏa mãn (x – 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x) với mọi x thuộc R và [P(22)]2 = P(23). Tìm đa thức P(x).
+ Cho A là một tập hữu hạn sao cho tồn tại dãy số (an) lấy giá trị trong A thỏa mãn tính chất: với mọi i, j thuộc N* sao cho |i – j| là số nguyên tố thì ai khác aj (ta quy ước số hạng đầu tiên của dãy số là a1). Tìm số phần tử ít nhất có thể của tập hợp A?
+ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), BC là dây cung cố định không đi qua O và A là điểm thay đổi trên cung lớn BC của (O) sao cho ABC là tam giác nhọn và AB > BC, AC > BC. Gọi P là điểm trên đoạn thẳng AB, Q là điểm trên đoạn thẳng AC sao cho P khác B, C khác Q và BQ = BC = CP. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Chứng minh rằng khi A di động thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Nội dung chi tiết đề: 

Câu 1 (5,0 điồm). Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $p=\frac{b c}{a}+\frac{c a}{b}+\frac{a b}{c}+\frac{81}{4} a b c$.

Câu 2 (5,0 điềm). Cho $P(x)$ là một đa thức có hệ số thực, khác đa thức không, thỏa mãn $(x-1) P(x+1)=(x+2) P(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $[P(22)]^2=P(23)$. Tìm đa thức $P(x)$.

Câu 3 (5,0 điểm). Cho $A$ là một tập hữu hạn sao cho tồn tại dãy số $\left(a_n\right)$ lấy giá trị trong $A$ thỏa mãn tính chất: với mọi $i, j \in \mathbb{N}^*$ sao cho $|i-j|$ là số nguyên tố thì $a_i \neq a_j$ (ta quy ước số hạng đầu tiên của dãy số là $a_1$ ). Tìm số phần tử ít nhất có thể của tập hợp $A$ ?

Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O) . B C$ là dây cung cố định không đi qua $O$ và $A$ là điểm thay đổi trên cung lớn $B C$ của $(O)$ sao cho $A B C$ là tam giác nhọn và $A B>B C, A C>B C$. Gọi $P$ là điểm trên đoạn thẳng $A B, Q$ là điểm trên đoạn thẳng $A C$ sao cho $P \neq B, C \neq Q$ và $B Q=B C=C P$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P Q$. Chứng minh rằng khi $A$ di động thì đường thẳng $H K$ luôn đi qua một điềm cố định.

Hết

Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé