Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 2023 sở GD&ĐT Hải Dương
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Dương:
+ Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là hình chiếu của I trên BC, AD cắt lại (O) tại G. Lấy E và F lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và cung lớn BC. Hai đường thẳng ID và FG cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh rằng điểm H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. b) Gọi P là điểm trên đường thẳng ID sao cho MP = MB và K trên đường thẳng BC sao cho KP vuông góc PM, KI cắt FG tại N và MN cắt AI tại J. Chứng minh E là trung điểm của IJ.
+ Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b; c) thỏa mãn: a^b + 1 | (a + 1)^c.
+ Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thẻ: thẻ hai mặt đỏ; thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt được màu sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cũng chỉ có thể phân biệt được tất cả các mặt thẻ úp xuống đưa vào trong máy có đều là màu vàng hay không. Nghĩa là nếu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có một mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu thẻ để đưa vào cũng được. a) Chứng minh rằng nếu A có n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và n – 1 thẻ hai mặt vàng thì A có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là [log2n] bước. b) Xét dãy số Fibonacci (F) với F1 = 1, F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn với n >= 1. Với n >= 4, giả sử bạn A có Fn thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và một thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn lại là các thẻ hai mặt vàng. Hỏi bạn ấy có thuật toán nào để có thể tìm ra thẻ hai mặt đỏ bằng cách sử dụng máy nhiều nhất n lần hay không?
Nội dung chi tiết đề thi này:
Câu 1. (4,0 điểm) Cho dãy sổ $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_1=a>0$ và
$$
\left(x_{n+1}-\sqrt{x_n+3}+1\right)\left(2 x_{n+1}-\frac{x_n^2+3}{x_n+1}\right)=0, \forall n \geq 1
$$
Chứng minh rằng $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thóa mãn:
$$
f(x f(y)+f(y)+f(x))=y+(y+1) f(x), \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ nội tiểp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ trên $B C, A D$ cắt lại $(O)$ tại $G$. Láy $E$ và $F$ lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $B C$ và cung lớn $B C$. Hai đường thẳng $I D$ và $F G$ cắt nhau tại điểm $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C$.
a) Chứng minh rằng điểm $H$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $I B C$.
b) Gọi $P$ là điểm trên đường thẳng $I D$ sao cho $M P=M B$ và $K$ trên đường thẳng $B C$ sao cho $K P \perp P M, K I$ cắt $F G$ tại $N$ và $M N$ cắt $A I$ tại $J$. Chứng minh $E$ là trung điểm của $I J$.
Câu 4. (4,0 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(a ; b ; c)$ thỏa măn: $a^b+1 \mid(a+1)^c$
Câu 5. (4,0 điểm) Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thė: thẻ hai mặt đỏ; thẻ một mặt vàng, một mặt đò; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt được màu sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cūng chỉ có thể phản biệt được tất cả các mặt thẻ úp xuống đưa vào trong máy có đều là màu vàng hay không. Nghĩa là nểu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có 1 mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu thẻ để đưa vào cũng được.
a) Chứng minh rằng nếu $\mathrm{A}$ có $n$ thẻ gồm I thè hai mặt đỏ và $n-1$ thẻ hai mặt vàng thì $\mathrm{A}$ có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là $\left[\log _2 n\right]$ bước.
b) Xét dãy số Fibonacci $\left(F_n\right)$ với $F_1=1, F_2=1, F_{n \times 2}=F_{n+1}+F_n, n \geq 1$. Với $n \geq 4$, giả sử bạn $\mathrm{A}$ có $F_n$ thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và 1 thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn lại là các thẻ hai mặt vàng. Hói bạn ấy có thuật toán nào để có thể tìm ra thẻ hai mặt đỏ bằng cách sừ dụng máy nhiều nhất $n$ lần hay không?