Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022 2023 trường Phổ thông Năng khiếu TP HCM

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022 – 2023 trường Phổ thông Năng khiếu – TP HCM:
+ Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn x > y > 2 và x^y – x = y^x – y.
+ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có B, C cố định (BC không đi qua O), A là điểm thay đổi trên cung lớn BC. Gọi I, M, N là trung điểm của BC, CA và AB. Đường tròn qua M, tiếp xúc BC tại B và đường tròn qua N, tiếp xúc BC tại C lần lượt cắt IM và IN tại E và F. Gọi D là giao điểm của BE, CF. a) Chứng minh AD đi qua một điểm cố định. b) Gọi K là giao điểm của AD với EF. Chứng minh K thuộc một đường tròn cố định.
+ Với n nguyên dương, một tập hợp B = {b1, b2 … bn} gồm các số nguyên dương được gọi là “tốt” nếu tồn tại n tập hợp C1, C2 … Cn thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Với mọi i thuộc {1, 2 … n}, các tập hợp Ci gồm bi số nguyên liên tiếp. Với mọi i thuộc {1, 2 … n}, nếu đặt ai là tổng tất cả các phần tử của Ci thì a1 + a2 + … + an = 0. a) Chứng minh rằng nếu B chứa ít nhất một số lẻ thì B là tập hợp tốt. b) Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng của {1, 2 … 100} là tập tốt?

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Tìm giới hạn
$$
\lim \frac{1}{\ln n}\left(\frac{u_1}{1}+\frac{u_2}{2}+\ldots+\frac{u_n}{n}\right)
$$
Bài 2. (5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ thỏa $x^2-x=2^x-2$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ thỏa $x>y>2$ và $x^y-x=y^x-y$.
Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$ có $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ cố định ( $\mathrm{BC}$ không đi qua $\mathrm{O}), \mathrm{A}$ là điểm thay đổi trên cung lớn $\overparen{B C}$. Gọi $\mathrm{I}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ và $\mathrm{AB}$. Đường tròn qua $\mathrm{M}$, tiếp xúc $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{B}$ và đường tròn qua $\mathrm{N}$, tiếp xúc $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{C}$ lần lượt cắt $\mathrm{IM}$ và $\mathrm{IN}$ tại $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Gọi $\mathrm{D}$ là giao điểm của $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$.
a) Chứng minh $\mathrm{AD}$ đi qua một điểm cố định.
b) Gọi $\mathrm{K}$ là giao điểm của $\mathrm{AD}$ với $\mathrm{EF}$. Chứng minh $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.

Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$ có $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ cố định $(\mathrm{BC}$ không đi qua $\mathrm{O}$ ), $\mathrm{A}$ là điểm thay đổi trên cung lớn $\overparen{B C}$. Gọi $\mathrm{I}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ và $A B$. Đường tròn qua $M$, tiếp xúc $B C$ tại $B$ và đường tròn qua $N$, tiếp xúc $B C$ tại $C$ lần lượt cắt $\mathrm{IM}$ và $\mathrm{IN}$ tại $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Gọi $\mathrm{D}$ là giao điểm của $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$.
a) Chứng minh $\mathrm{AD}$ đi qua một điểm cố định.
b) Gọi $\mathrm{K}$ là giao điểm của $\mathrm{AD}$ với $\mathrm{EF}$. Chứng minh $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4. (5 điểm) Với n nguyên dương, một tập hợp $\mathcal{B}=\left\{b_1, b_2, \ldots, b_n\right\}$ gồm các số nguyên dương được gọi là "tốt" nếu tồn tại $\mathrm{n}$ tập hợp $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \ldots, \mathcal{C}_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- Với mọi $i \in\{1,2, \ldots, n\}$, các tập hợp $\mathcal{C}_i$ gồm $b_i$ số nguyên liên tiếp.
- Với mọi $i \in\{1,2, \ldots, n\}$, nếu đặt $a_i$ là tổng tất cả các phần tử của $\mathcal{C}_i$ thì $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$.
a) Chứng minh rằng nếu $\mathcal{B}$ chứa ít nhất một số lẻ thì $\mathcal{B}$ là tập hợp tốt.
b) Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng của $\{1,2, \ldots, 100\}$ là tập tốt?