Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thanh Hóa; kỳ thi được diễn ra trong hai ngày: 27/09/2022 (vòng 1) và 28/09/2022 (vòng 2).

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thanh Hóa:
+ Cho dãy số (xn) xác định bởi. Chứng minh rằng dãy số (yn) xác định bởi yn có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
+ Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao đôi một khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu lần lượt là G1, G2, G3, G4, G5 và 10 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh đó theo một hàng ngang sao cho tính từ trái sang phải thì các học sinh nữ có chiều cao tăng dần, các học sinh nam cũng có chiều cao tăng dần, giữa học sinh G1 và G2 có ít nhất 3 học sinh nam, giữa học sinh G4 và G5 có ít nhất 1 học sinh nam và nhiều nhất 3 học sinh nam.
+ Cho H là một lục giác đều có cạnh bằng 2022. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho có một cách phân hoạch H thành n hình tam giác có cạnh không lớn hơn 2022 và tổng n tỉ số giữa độ dài cạnh ngắn nhất với độ dài cạnh dài nhất của mỗi tam giác đó không vượt quá?

Nội dung đề: 

Bài $1\left(5,0\right.$ điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l}x_1=\frac{1}{2} \\ x_{n+1}+(n+1) x_n \cdot x_{n+1}=n x_n^2, \forall n \in \mathbb{N}^{\circ}\end{array}\right.$. Chứng minh rằng dãy số $\left(y_n\right)$ xác định bởi $y_n=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n+1}}{x_n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài $2(5,0$ điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$
f(x+f(x+y))+f(x y)=x+f(x+y)+y \cdot f(x), \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ có $A B<A C$, nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $A C, A B$ tại $E, F$. Đường thẳng $B I$ cắt đường thẳng $E F$ tại $M$ và cắt đường thẳng $A C$ tại $P$, đường thẳng $B O$ cắt đường thẳng $C M$ tại $Q$.
a) Chứng minh $M P \cdot M B=M Q \cdot M C$.
b) Dựng tiếp tuyến chung $d$ khác $B C$ của các đường tròn nội tiếp tam giác $P B C$ và tam giác $Q B C$. Chứng minh đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $P Q$.

Bài $4(5,0$ điểm).
a) Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao đôi một khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu lần lượt là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ và 10 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh đó theo một hàng ngang sao cho tính từ trái sang phải thì các học sinh nữ có chiều cao tăng dần, các học sinh nam cũng có chiều cao tăng dần, giữa học sinh $G_1$ và $G_2$ có ít nhất 3 học sinh nam, giữa học sinh $G_4$ và $G_5$ có ít nhất 1 học sinh nam và nhiều nhất 3 học sinh nam.
b) Cho $H$ là một lục giác đều có cạnh bằng 2022. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho có một cách phân hoạch $H$ thành $n$ hình tam giác có cạnh không lớn hơn 2022 và tổng $n$ tỉ số giữa độ dài cạnh ngắn nhất với độ dài cạnh dài nhất của mỗi tam giác đó không vượt quá $\frac{9 n^2+10 n-20}{2 n^2+1}$ ?
HẾT

Bài 5 (6,0 điểm). Với mỗi số nguyên dương $m$ lớn hơn 1 , ta kí hiệu $p(m)$ là số các ước nguyên tố phân biệt của $m$ và gọi $f(m)$ là ước nguyên tố nhỏ thứ $\left[\frac{p(m)+1}{2}\right]$ của m. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn đẳng thức sau:
$$
f\left(n^2+2\right)+f\left(n^2+5\right)=2 n-4 .
$$
(Trong đó kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực $x$ )
Bài $6\left(7,0\right.$ điểm). Cho dãy đa thức $\left(Q_n(x)\right)$ xác định bởi:
$$
Q_1(x)=(x-2)^2, Q_n(x)=\left(Q_{n-1}(x)-2\right)^2, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2 .
$$
Khai triển đa thức $\left(Q_{2022}(x)\right)^{10}$ ta được $\left(Q_{2022}(x)\right)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3 \ldots$. Tính $a_2$.

Bài 7 (7,0 điểm). Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $X Y Z$ và tiếp xúc với các cạnh $Y Z, Z X, X Y$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$. Các điểm $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $X$ lên các đường thẳng $A B, B C, C A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $D E F$ cắt $B C$ tại $E$ và $H$. Đường thẳng $X E$ cắt $A H$ tại $I$.
a) Chứng minh $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $A H$.
b) Đường thẳng $A H$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $T$. Đường thẳng qua $T$ song song với $B C$ cắt đường tròn $(O)$ tại $T$ và $S$. Chứng minh rằng đường tròn $(O)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác YZS.
HẾT