Bài tập sách bài tập giải tích 12 môn Toán 

81. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Giả sử $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a ; b)$. Thế thì :
a) $f^{\prime}(x)>0, \forall x \in(a ; b) \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a ; b)$.
$f^{\prime}(x)<0, \forall x \in(a ; b) \Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a ; b)$.
b) $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a ; b) \Rightarrow f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(a ; b)$.
$f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a ; b) \Rightarrow f^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(a ; b)$.
Khoảng $(a ; b)$ được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

Bài tập sách giáo khoa: 

1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số :
a) $y=4+3 x-x^2$;
b) $y=\frac{1}{3} x^3+3 x^2-7 x-2$;
c) $y=x^4-2 x^2+3$;
d) $y=-x^3+x^2-5$.

HƯỚNG DẪN GIẢI BẰNG VIDEO TỪ THẦY NGUYỄN ĐẮC TUẤN: GIẢI BÀI 1 SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 1 BÀI 1

2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số :
a) $y=\frac{3 x+1}{1-x}$;
b) $y=\frac{x^2-2 x}{1-x}$;
c) $y=\sqrt{x^2-x-20}$;
d) $y=\frac{2 x}{x^2-9}$.
3. Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng $(-1 ; 1)$; nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1 ;+\infty)$.
4. Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2 x-x^2}$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1 ; 2)$.
5. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) $\tan x>x\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$;
b) $\tan x>x+\frac{x^3}{3}\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$.

BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP: 

ví dụ 1: Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau :
a) $y=x^4+8 x^3+5$
b) $y=\sqrt{x}(x-3),(x>0)$;
c) $y=\frac{x-2}{x^2+x+1}$.

Ví dụ 2: Sử dụng tính đông bién vă nghịch bién của hàm so, chưng minh rẳng vơi mọi $x>0$ ta co $x+\frac{1}{x} \geq 2$

Bài tập: 

1.1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) $y=3 x^2-8 x^3$;
b) $y=16 x+2 x^2-\frac{16}{3} x^3-x^4$;
c) $y=x^3-6 x^2+9 x$
d) $y=x^4+8 x^2+5$.

a) $y=\frac{3-2 x}{x+7}$
B) $y=\frac{1}{(x-5)^2}$
c) $y=\frac{2 x}{x^2-9}$
d) $y=\frac{x^4+48}{x}$
e) $y=\frac{x^2-2 x+3}{x+1}$;
g) $y=\frac{x^2-5 x+3}{x-2}$.
1.3. Xét tính đơn điệu của các hàm số :
a) $y=\sqrt{25-x^2}$;
b) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+100}$.
c) $y=\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}$
d) $y=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}$.

1.4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) $y=x-\sin x, x \in[0 ; 2 \pi]$;
b) $y=x+2 \cos x, x \in\left(\frac{\pi}{6} ; \frac{5 \pi}{6}\right)$;
c) $y=\sin \frac{1}{x}(x>0)$.
1.5. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) $\tan x>\sin x, 0<x<\frac{\pi}{2}$
b) $1+\frac{1}{2} x-\frac{x^2}{8}<\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2} x$ vơi $0<x<+\infty$.
1.6. Chứng minh rằng phương trình $x^3-3 x+c=0$ không thể có hai nghiệm thực trong đoạn $[0 ; 1]$.

1.7. Xác định giá trị của $b$ để hàm $s \sigma f(x)=\sin x-b x+c$ nghịch biến trên toàn trục số.