Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT tỉnh Lào Cai năm 2021 2022 có lời giải

Xem chi tiết dưới đây 

Câu $1(5,0$ điểm)
a) Cho hàm số $y=\frac{x+1}{3-x}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(C)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ đề đường thẳng $d: y=x+m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho tam giác $M N I$ có trọng tâm nằm trên $(C)$.
b) Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f^{\prime}(x)=x^{6}(x-2)^{3}\left(x^{2}-8 x+m^{2}-3 m-4\right), \forall x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $f(|x|)$ có 5 điểm cực trị.
Câu $2(4,0$ điểm)
a) Giài bất phương trình $\frac{2 \cdot 9^{x}-3 \cdot 6^{x}}{6^{x}-4^{x}} \leq 2$ trên tập số thực.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\log _{3} \frac{2 x-1}{27 x^{2}-54 x+9 m}=3 x^{2}-8 x+m-1$ có 2 nghiệm thực phân biệt thuộc $\left(\frac{1}{2} ;+\infty\right)$.
Câu $3(5,0$ điểm) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh bằng $a$, đường chéo $A C=a$. Tam giác $S A D$ là tam giác cân tại $S$ và $(S A D)$ vuông góc với $(A B C D)$. Biết $S A$ tạo với $(A B C D)$ một góc bằng $45^{\circ}$.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $A B$ và $S C$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $S D$, lấy điểm $N$ thuộc cạnh $S C$ sao cho $S N=2 N C$, gọi $P$ là giao điểm của $(A M N)$ và $B C$. Tính thể tích khối đa diện $A M N P C D$.

Câu 4 (4,0 điểm)
a) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triền $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})^{2022}$.
b) Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập $A=\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\}$. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $S$, tính xác suất để lấy được số có dạng $\overline{a b c d e f}$ sao cho a.b.c.d.e. $f=1400$. Câu $5(2,0$ điểm $)$ Cho $a, b$ là những số thực thỏa mãn $a^{2}-a b+b^{2}=1 .$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a^{4}+b^{4}-2}{a^{2}+b^{2}+1}$.