MÔN: TOÁN
Bài 1. (4 điểm)
Cho hàm số $y=x^{3}+(1-2 m) x^{2}+(2-m) x+m+2 \quad$ (1), với $m$ là tham số.
1. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số (1) đồng biến trên khoàng $(0 ;+\infty)$.
2. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số (1) đạt cực tiểu, cực đại tại $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{2} x_{1}=\frac{2}{9}$
Bài 2. (6 điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình sau đây:
1. $2 \cos ^{3} x+\cos 2 x+\sin x=0$
2. $\sqrt{x+1}=2+\sqrt[3]{2 x-6}$
3. $\left\{\begin{array}{l}x y^{2}+y=6 x^{2} \\ x^{2} y^{2}+1=5 x^{2}\end{array}\right.$
Bài 3. (3 điểm)
1. Chứng minh rằng phương trình $3 x^{4}-12 x^{3}+256=0$ không có nghiệm số thực.
2. Tim $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$
Bài 4. (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có đường cao $S O$, độ dài cạnh đáy $A B=a$ và góc $\angle S A B=\alpha$ với $45^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$.
1. Tính thể tích $V_{S . A B C D}$ của hình chóp $S . A B C D$ theo $a$ và $\alpha$.
2. Xác định đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau $S B$ và $A C$ tù̀ đó tính khoảng cách giữa $S B$ và $A C$ theo $a$ và $\alpha$.
Bài 5. (2 điểm)
Cho elip $(E): \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$. Qua điểm $K(3 ; 1)$ vẽ 2 đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ vuông góc với nhau, $d_{1}$ cắt
$(E)$ tại $M, N$ và $d_{2}$ cắt $(E)$ tại $P, Q$. Chứng minh rằng với giả thiết trên thì tổng $\frac{1}{K M . K N}+\frac{1}{K P . K Q}$ không phụ thuộc vào vị trí của $d_{1}$ và $d_{2}$.
Bài 6. (2 điểm) Tìm giá trị Iớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số xác định bời $f(x)=\frac{1+\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}{1+\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}$