Đề ôn tập học sinh giỏi Toán lớp 12 

1. Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y=-x-m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $A B=\sqrt{10}$.

2. Cho hàm số $f(x)=\left|x^{4}-2 x^{2}+m-1\right|$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$bằng 18 .

Câu 2. (2,0 điểm)Một nhóm học sinh gồm 10 em trong đó có 2 học sinh lớp 11A1, 3 học sinh lớp $12 \mathrm{~A} 2$ và 5 học sinh lớp $12 \mathrm{~A} 1$. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có 2 học sinh cùngaa lớp đứng cạnh nhau.

Câu 3. (4,0 điểm)Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $\left\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{9 x^{2}+1}-3 x\right)\left(3 y+\sqrt{9 y^{2}+1}\right)=1 \\ 3 \sqrt{x+2 y-2}+x \sqrt{x-2 y+6}=10\end{array}\right.$.

Câu 4. (4,0 điểm)Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O, S A=2 a, B D=\sqrt{3} A C$, mặt bên $SAB$là tam giác cân tại $A$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm $H$ của đoạn $AO.$

1) Tính thể tích của khối chóp \[S.ABCD.\]  2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$và \[CD.\]