Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Yên

Câu 1. (4,00 điểm) Giải hệ phương trình sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x+1}-\frac{2}{y-1}=2 \\
x-y^{2}+1=0
\end{array}\right.
$$
Câu 2. (3,00 điểm) Cho $x, y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm giá trị lớn nhất $S=\frac{x}{3-y z}+\frac{y}{3-z x}+\frac{z}{3-x y}$.

Câu 3. (4,00 điểm) Cho tam giác nhọn $A B C$ có đường cao $A M$, trực tâm $H$. Đường thẳng $B H$ cắt đường tròn đường kính $A C$ tại $D, E （ B D<B E)$. Đường thẳng $C H$ cắt đường tròn đường kính $A B$ tại $F, G(C F<C G)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $D M F$ cắt $B C$ tại điểm thứ hai là $N$.
a) Chứng minh rằng các điểm $G, M, N, E$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng $B F, C D, H N$ đồng quy.

Câu 4. (4,00 điểm) Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ xác định bởi : $\left\{\begin{array}{l}u_{1}=2021 \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2021}-u_{n}+16}{u_{n}^{2020}-u_{n}+7}\end{array}\right.$, với $n=1,2,3, \ldots$
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(u_{n}\right)$ không tồn tại giới hạn hữu hạn.
b) Đặt $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{u_{i}^{2020}+3} .$ Tính $\lim S_{n}$.

Câu 5. (3,00 điểm) Cho $P(x), Q(x)$ là các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 và các hệ số đều là số thực và
$\operatorname{deg} P(x)=\operatorname{deg} Q(x)=2020 .$ Chứng minh rằng nếu phương trình $P(x)=Q(x)$ không có
nghiệm thực thì phương trình $P(x+2021)=Q(x-2021)$ có nghiệm thực.
Câu 6. (2,00 điểm) Cho $p$ là số nguyên tố khác $2 ; a$ và $b$ là hai số tự nhiên lẻ sao cho $(a+b) \vdots p,(a-b):(p-1)$. Chứng minh rằng $\left(a^{b}+b^{a}\right): 2 p$.