Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT An Giang

Cấu 1. $(4,0$ điềm) Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0 ;+\infty)$ đồng thời thỏa mãn
$$
f(x+y)=f(x) \cdot f(y) ; f(1)=\frac{1}{2}
$$
a. Tính $f(0) ; f(2)$ và $f(3)$.
b. Đặt $S_{n}=f(1)+f(2)+\cdots+f(n) ;(n \in \mathbb{N})$. Tinh $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}$.
Câu 2. (4,0 điểm) Tìm $m$ đề hệ phương trình sau đây có đúng một nghiệm
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{3}=y^{2}+7 x^{2}-m x \\
y^{3}=x^{2}+7 y^{2}-m y
\end{array}\right.
$$
Câu 3. (4,0 điểm) Một mẫu vé vào cửa có số sê ri gồm 5 chữ số từ 00000 đến $99999 .$ Khi vào cửa khách hàng được khuyến mãi một thức uống miễn phi nếu vé đó có hai chừ số liền kề trong 5 chữ số có hiệu bằng 5 (vi du 01384). Hỏi có bao nhiêu vé có số sê ri mang đặc điểm này.

Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ cạnh đáy bằng $a$. Lấy điềm $B_{1}$ thuộc $B B^{\prime}$ diểm $C_{1}$ thuộc $C C^{\prime} .$ Đặt $B B_{1}=x ; C C_{1}=y$.
a. Chứng minh rằng tam giác $A B_{1} C_{1}$ vuông tại $B_{1}$ khi $2 x y=2 x^{2}+a^{2}$.
b. Giả sử tam giác $A B_{1} C_{1}$ là tam giảc thường và $B_{1}$ là trung điểm của $B B^{\prime}$ và $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $\left(A B_{1} C_{1}\right)$, cho $y=2 x .$ Tính diện tích tam giác $A B_{1} C_{1}$ và độ dài cạnh bên của lăng trụ đã cho theo $a$ và $\alpha$.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4 ; x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=a+b \sqrt{2} \sin x+c \sin 2 x$.
Câu 6. (2,0 điểm) Có 2025 đồng $x u$ hai mặt (mặt sấp và mặt ngửa) được đánh số thứ tự từ 1 đến 2025 , tất cả đều để ngửa. Thực hiện các thao tác sau:
Lần 1: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của $1 .$ Lần 2: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 2 . Lần 3: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của $3 .$
$\ldots \cdot$
Lần 2025: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của $2025 .$ Hỏi có bao nhiêu đồng xu ngửa sau lần lật thứ $2021 ?$