Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT & GDTX năm 2020 – 2021 sở GD & ĐT Đắk Lắk

Xem chi tiết dưới đây

Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số $y=f(x)=x^{4}+m x^{2}+4$ có đồ thị $\left(C_{m}\right)$ với $m$ là tham số.
1) Khi $m=-5$, viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị $\left(C_{m}\right)$ tại giao điểm của nó với trục hoành.
2) Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đồ thị $\left(C_{m}\right)$ có 3 điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ.
2. $(6,0$ điểm) Câu
1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^{x}-m .2^{x+1}+2 m=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}+x_{2}=4$.
2) Tính tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 x+5 \sqrt{3 x+1}+7}$.
3) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^{3}\left(4 y^{2}+1\right)+2\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x}=6 \\ x^{2} y\left(2+2 \sqrt{4 y^{2}+1}\right)=x+\sqrt{x^{2}+1}\end{array}\right.$.
3. $(4,0$ điểm) Câu
1) Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho bốn điểm $A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3)$, $C(2 ;-1 ; 3), D(0 ; 3 ; 1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A, B$ và cách đều hai điểm $C, D$ sao cho $C$ và $D$ nằm khác phía so với mặt phẳng $(P)$.
2) Cho $\triangle A B C$ có $A B=3 a, A C=4 a, B C=5 a$. Lấy $M$ là một điểm tùy ý nằm bên trong $\triangle A B C$ và $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các cạnh $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{1}{5 M D}+\frac{1}{4 M E}+\frac{1}{3 M F} \geq \frac{3}{4 a}$.
b) $\frac{1}{5 M D+4 M E}+\frac{1}{4 M E+3 M F}+\frac{1}{3 M F+5 M D} \geq \frac{3}{8 a}$.

4. (4,0 điểm) Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$, góc Câu $\widehat{B A D}=60^{\circ}$, cạnh bên $A A^{\prime}=a \sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của đinh $D^{\prime}$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ là điểm $E$ nằm trên đoạn thẳng $B D$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $B$ lên cạnh $D D^{\prime}$ là diểm $F$ và $D F=\frac{1}{4} D D^{\prime}$.
1) Tính theo $a$ thể tích khối hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} .$
2) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $C B^{\prime} C^{\prime}$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left(B D D^{\prime}\right)$ theo $a$. Câu 5. (2,0 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$
\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right) \geq 2+\frac{18 \sqrt[3]{a b c}}{a+b+c}
$$