Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 2021 trường THPT Minh Châu tỉnh Hưng Yên

Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phương trinh: $\sin 3 x+\sqrt{3} \cos 3 x=2 \sin 2 x$.
b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\cos 2 x+7 \cos x-\sqrt{3}(\sin 2 x-7 \sin x)=8$ trên đoạn $[-2 \pi ; 2 \pi]$
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $\left(x+\frac{1}{2 x}\right)^{9}$.
b) Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chi có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh có năng lực
trung bình đã làm đúng được 25 câu(từ câu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm( làm tròn đến hàng phần nghin). Câu 3: $(1$ điểm) Tìm tất cả các số thực $x$ để ba số $x, 2 x, 4$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Câu 4: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
a) $I=\lim \left(\sqrt{16^{n+1}+4^{n}}-\sqrt{16^{n+1}+3^{n}}\right)$
b) $J=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+x+2}-\sqrt[3]{7 x+1}}{\sqrt{2}(x-1)}$

Câu 5: (1,5 điểm) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành, mặt bên $S A B$ là tam giác vuông tại $A$, $S A=a \sqrt{3}, S B=2 a$. Điểm $M$ nằm trên đoạn $A D$ sao cho $A M=2 M D$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và
song song với $(S A B)$.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{SB}$ và $\mathrm{CD}$.
b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$.
Câu 6: $(\mathbf{1}, \mathbf{5}$ điểm)
a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+4+\sqrt{x^{2}+8 x+17}=y+\sqrt{y^{2}+1} \\ x+\sqrt{y}+\sqrt{y+21}+1=2 \sqrt{4 y-3 x}\end{array}\right.$.
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_{n}\right)$ và tính $\lim u_{n}$