Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2020 2021 trường THPT Minh Châu tỉnh Hưng Yên

Câu 1: (2 điểm) Cho phương trình bậc hai $\mathrm{x}^{2}-(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}+2 \mathrm{~m}^{2}-8 \mathrm{~m}+6=0$ (1) (với $\mathrm{m}$ là tham số)
a) Tìm $\mathrm{m}$ để phương trình (1) có hai nghiệm
b) Giả sử $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức $A=\left|x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)\right|$
b) Cho hàm số: $y=x^{2}-4(m+1) x+2 m^{2}+2 m+1(1)$. Tìm $\mathrm{m}$ để đồ thị hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $\mathrm{y}=-2 \mathrm{x}+1$ tại hai điểm phân biệt $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ sao cho trọng tâm tam giác $\mathrm{OAB}$ nằm trên $\mathrm{Ox}$ ( $\mathrm{O}$ là gốc tọ độ). Câu 2: (4 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
1) $\frac{x^{2}-|x|-12}{x-3}=2 x$
2) $3-x=\sqrt{-x^{2}+3 x}$
3) $\sqrt{x+1}\left(x^{2}-5 x+6\right) \leq 0$
4) $\left\{\begin{array}{l}y+y^{2} x=-6 x^{2} \\ 1+x^{3} y^{3}=19 x^{3}\end{array}\right.$
Câu 3: ( 1 điểm) Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có trọng tâm $\mathrm{G}$. Hai điểm $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ xác định bởi hệ thức $\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}$. Chứng minh $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{G}$ thẳng hàng. Câu 4: ( 1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho $\mathrm{A}(1 ; 2), \mathrm{B}(-2 ; 6), \mathrm{C}(9 ; 8)$
1) Chứng minh: $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ là 3 đình của tam giác và tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$.
2) Tính chu vi và diện tích tam giác $\mathrm{ABC}$.

Câu 5: ( 1 điểm) Chứng minh nếu tam giác ABC thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}\frac{b^{3}+c^{3}-a^{3}}{b+c-a}=a^{2} \\ a=2 b \cos C\end{array}\right.$ thì tam giác $\mathrm{ABC}$ đều Câu 6: ( 1 điểm) Chứng minh rằng mọi số dương $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ta có:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$