Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 năm 2020 2021 Trường THPT Lưu Hoàng Hà Nội 

Xem chi tiết dưới đây

Câu 1 (4 điểm). Cho parabol $(P): y=x^{2}+b x+c$ ( $b, c$ là các tham số thực).
a) Tìm giá trị của $b, c$ biết parabol $(P)$ đi qua điểm $M(-3 ; 2)$ và có trục đối xứng là đường thẳng $x=-1$.
b) Với giá trị của $b, c$ tìm được ở câu a), tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-x-m$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $O A B$ vuông tại $O$ (với $O$ là gốc tọa độ).
Câu 2 (7 điểm).
a) Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-3 x+3}+\sqrt{x^{2}-3 x+6}=3$.
b) Tìm $m$ để bất phương trình $\frac{x^{2}-m x-2}{x^{2}-3 x+4}<-1$ vô nghiệm.
c) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 x+y}+2 \sqrt{x-2 y+1}=5 \text { . } \\ 3 \sqrt{x-2 y+1}+y=3 x+2\end{array}\right.$.
Câu 3 ( 2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho hai điểm $A(-1 ; 1)$ và $B(2 ; 4)$. Tìm tọa độ điểm $C$ sao cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$.

Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác $A B C$ có $M$ là trung điểm $A C, N$ là điểm thuộc cạnh $B C$ thỏa mãn $N C=2 N B$. Gọi $I$ là trung điểm của $M N$.
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{I N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{I B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{I C}$.
b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{I A}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{I B}$ và $\overrightarrow{I C}$.
c) Giả sử độ dài các cạnh $B C=a, C A=b, A B=c$. Chứng minh rằng:
Nếu $3 a \cdot \overrightarrow{I A}+4 b \cdot \overrightarrow{I B}+5 c \cdot \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$ thì tam giác $A B C$ đều.
Câu $\mathbf{5}$ (2 điểm). Cho ba số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x>1, y>1, z>1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=(x-1)(y-1)(z-1)$.