Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 11 năm 2020 2021 Trường THPT Lưu Hoàng Hà Nội 

Xem chi tiết 

Câu $\mathbf{1}(5$ điểm $) .$ Cho phương trình: $\cos ^{2} \mathrm{x}-2 \cos \mathrm{x}+\mathrm{m}=0$ (1), (với $\mathrm{m}$ là tham số).
a) Giải phương trình với $\mathrm{m}=-3$.
b) Tìm $\mathrm{m}$ để phương trình (1) có nghiệm $\mathrm{x}$ thuộc đoạn $[0 ; \pi / 2]$. Câu 2 (5 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2 x+3}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
b) Cho đa giác đều 18 cạnh. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh. Tính xác suất để chọn được hai tam giác có cùng chu vi. Câu 3 (5 điểm).
a) Cho dãy số $\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}u_{1}=\frac{5}{2} \\ u_{n+1}=\frac{1}{2} u_{n}^{2}-u_{n}+2\end{array} \quad\left(n \in N^{*}\right) .\right.$ Tìm $\lim \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_{k}}\right)$.

Câu 3 (5 điểm).
a) Cho dãy số $\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}u_{1}=\frac{5}{2} \\ u_{n+1}=\frac{1}{2} u_{n}^{2}-u_{n}+2\end{array} \quad\left(n \in N^{*}\right) .\right.$ Tìm $\lim \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_{k}}\right)$.
b) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là $6 \% /$ năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân). Câu 4 (4 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa $\mathrm{SB}$ và mặt đáy bằng $60^{\circ}$. Gọi $\mathrm{N}$ là trung điểm của BC.
a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{SD}$ và $\mathrm{AN}$.
b) Gọi $\mathrm{H}, \mathrm{K}$ là hai điểm lần lượt thuộc các đường thẳng $\mathrm{SB}$ và $\mathrm{DN}$ sao cho $\mathrm{HK}$ $\perp \mathrm{SB}, \mathrm{HK} \perp \mathrm{DN}$. Tính độ dài đoạn $\mathrm{HK}$ theo $\mathrm{a}$.

Câu $\mathbf{5}(1$ điểm $) .$ Cho $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{R}$ thoả mãn: $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{2\left(x^{2}+6 x y\right)}{2 x y+2 y^{2}+1}$.