Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT  Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc năm 2020 2021

Xem chi tiết dưới đây

Câu $1\left(2,0\right.$ diếm):  Giải phương trình $\sin x \cdot \cos 2 x=\cos 2 x-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$.
là số nguyên dương thỏa $\operatorname{man} \frac{1}{3}+\frac{1}{3+6}+\frac{1}{3+6+9}+\ldots+\frac{1}{3+6+\ldots+3 n}=\frac{2021}{3033}$.
Câu 2 (2,0 điểm): Tinh giới hạn: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 \sqrt[3]{1-x}+\sqrt{6 x-3}}{(x-2)\left(x^{2}+3 x-10\right)}$.
Câu 6 ( 2,0 điểm): Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=\sqrt{8+5 x-y} \\ 3 x+y^{2}+4=\sqrt{5(2-x+2 y)}+\sqrt{3 y+5}\end{array},(x, y \in \mathbb{R})\right.$.

Câu 7 ( 2,0 điểm): Cho hình lập phuong $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh bằng 1 . Điểm $M$ nằm trên cąnh $A A^{\prime}$ sao cho $A M=x,(0<x<1)$. Mạt pha一ng $(\alpha)$ qua $M,$ song song với các đường thằng $A^{\prime} B$ và $A C$ cắt hình lập phuong đã cho theo thiết diện là hình $(H)$. Tìm $x$ đề diện tích hinh $(H)$ bằng $\frac{11 \sqrt{3}}{16}$. Câu $8(2,0$ điểm $):$ Cho hình thoi $A B C D$ có canh $A B=2 a, \widehat{B A D}=60^{\circ}$. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $A B$, d (S không trùng với $H$ ), điềm $M$ thỏa mằn $\overrightarrow{B C}+4 \overrightarrow{B M}=\overrightarrow{0}$.
a) Khi $S H=\frac{a \sqrt{3}}{2}$, chúng minh đương thẳng SM vuông góc với mặt phẳng $(S A D)$.
b) Tinh theo $a$ độ dài của cạnh $S H$ để góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phằng $(S A D)$ có số đo lớn nhất. Câu 9 (2,0 điểm): Trong mặt phằng tọa độ $O x y$, cho hình vuông $A B C D$ co tâm $I$. Các điểm $G\left(-\frac{1}{3} ; 0\right), E\left(-\frac{1}{3} ;-\frac{5}{3}\right)$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $A B I$ và tam giác $A C D .$ Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông $A B C D$ biết hoành độ của đỉnh $A$ là số nguyên.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương và thỏa mãn $a+b+c \geq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left(\frac{1}{a+b+\sqrt{2(a+c)}}\right)^{3}+\left(\frac{1}{b+c+\sqrt{2(b+a)}}\right)^{3}+\left(\frac{1}{c+a+\sqrt{2(c+b)}}\right)^{3}$.

Câu $7(2,0$ điểm $):$ Cho hinh lập phuong $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh bằng 1 . Điểm $M$ nằm trên canh $A A^{\prime}$ sao cho $A M=x,(0<x<1)$. Măt pha一ng
( $\alpha$ ) qua $M,$ song song với các đường thằng $A^{\prime} B$ và $A C$ cắt hình lập