Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán năm 2020 2021 thầy Đắc Tuấn 

Xem chi tiết dưới đây

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BD HSG MÔN TOÁN NĂM 2020-2021

GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

DĐ: 0835606162

I. Chủ đề đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1. Tìm tất cả giá tri thực của tham số $m$ đề hàm số $y=\frac{x^{2}+2 x-m}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$.

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3} x^{3}-(m-1) x^{2}-(m-3) x+8 m^{2}$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$.

3. Tìm $m$ để hàm số $f(x)=\frac{x-2}{m x-2}$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 1)$.

II. Chủ đề cực trị hàm số:

4. Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{3}}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Tìm $m$ để đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba.

5. Cho hàm số \[\,y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx\] (1). Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):x+2y-9=0$.

6. Cho hàm số $y=\frac{2}{3} x^{3}+(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+4 m+3\right) x$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ và biều thức $A=x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

7. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=-x^{3}+3 m x^{2}-3 m-1$ có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $x+2 y+1=0$.

8. Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+1}$ có đồ thị (C). Chứng minh rằng đường thẳng $(\Delta): 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{m}=0$ luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị. Xác định m sao cho AB ngắn nhất.

9. Cho hàm số \[\,y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m-1\] (1). Định \[m\] để hàm số (1) có ba cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo thành một tam giác có chu vi bằng $4(1+\sqrt{65})$.

10. Cho hàm số $y=x^{4}-2 m x^{2}+m^{2}-m$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc $30^{\circ}$.

11. Tìm $m$ đề đồ thị hàm số $y=x^{3}-m x^{2}+\left(m^{2}-m-2\right) x-2\left(m^{2}-3 m+2\right)$ có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị của hàm số trái dấu nhau.

III. Chủ đề tiệm cận của đồ thị của hàm số:

12. Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.

13. Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $(C)$. $M$ là điểm tùy ý trên $(C)$ có hoành độ lớn hơn 1. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận tại $A$ và $B$ phân biệt. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất $(O$ là gốc tọa độ).

IV.Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:

14. Cho hàm số $y=x^{3}+3 x^{2}-4$ có đồ thị $(C)$. Tìm $m$ để đường thẳng $y=m(x+2)$ cắt đồ thị ($C$) tại ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị ($C$) tại ba điểm đó tạo thành tam giác vuông.

15. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=x-m$ cắt đồ thị $(C)$ tại ba điểm phân biệt $A,B$ và $C$ sao cho tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến với $(C)$ tại các điểm $A,B$ và $C$ nhỏ hơn 9.

16. Cho hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}+1$ có đồ thị $(C),$ đường thẳng $(d): y=m x+1$ và điểm $K(3 ; 10)$. Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho $(C)$ và $(d)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ trong đó $A(0 ; 1)$ và trọng tâm của tam giác $KBC$ nằm trên đường thẳng $y=2 x+3$.

17. Cho hàm số $y=\frac{-2 x+1}{x+1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ và đường thẳng $d: y=2 x+m$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ bằng $\sqrt{7}$ (với $\mathrm{O}$ là gốc tọa độ).

18. Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị (C). Cho điểm A(0; a). Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.

19. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m\,(m\ne 0)$ để đường thẳng $\Delta :y=3(x-m)$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2m}{mx+1}(H)$ tại 2 điểm phân biệt $A,\,\,B$ sao cho diện tích $\Delta OAB$ bằng $\frac{\sqrt{21}}{2}$.

20. Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{3 \mathrm{x}+4}{3 \mathrm{x}+3}$ có đồ thị $(\mathrm{C})$. Tìm các giá trị của tham số $\mathrm{m}$ để đường thẳng $\mathrm{d}: \mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{m}$ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB đều (với O là gốc tọa độ).

21. Cho hàm số $y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 4-3m \right)x+1$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$, $m$là tham số. Tìm các giá trị của $m$ để trên $\left( {{C}_{m}} \right)$có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $d:x+2y=0$.

22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hàm số $y=\frac{x}{x-2}$ có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B phân biệt thoả mãn: $\sqrt{5}AB=2OA+OB$.

23. Cho hàm số $y=\frac{2 x}{x+2}$ có đồ thị $(C)$. Tìm hai điểm $A,B$ trên $(C)$ sao cho các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.

24. Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$

a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M nằm trên đồ thị (C) đến hai đường tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

25. Cho hàm số $y=\frac{2 x+3}{x+2}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ và đường thẳng $(d): y=-2 x+m$ Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt đường cong $(C)$ tại hai điểm 

phân biệt $A,B$ sao cho biểu thức $P=k_{1}^{2017}+k_{2}^{2017}$ đạt giá trị nhỏ nhất với $k_{1}=y^{\prime}\left(x_{A}\right), k_{2}=y^{\prime}\left(x_{B}\right)$.

26. Cho hàm số $(C): y=\frac{3 x-2}{x-1} .$ Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị hàm số $(\text{C})$biết $(\Delta)$ cắt đường tròn có phương trình $(x-2)^{2}+y^{2}=25$ tại 

hai điểm $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ sao cho tam giác ABC vuông tại A với $\mathrm{A}(6 ; 3)$.

V. phương trình lượng giác:

27. Giải phương trình: $\text{ }\sin x(2\sqrt{3}\cos x-3)+2(\sin x+1)=\sqrt{3}\cos x-\cos 2x$

28. Giải phương trình: $\frac{4+\cos 2x+\sin 2x-\sin x-7\cos x}{2\sin x+\sqrt{3}}=0\text{  }$

29. Giải phương trình $\cos 2 x \sin x+2 \cos ^{3} x=\sin x+2 \cos x$.

30. Giải phương trình: $\cos 2 x-\tan ^{2} x=\frac{\cos ^{2} x-\cos ^{3} x-1}{\cos ^{2} x}$.

31. Giải phương trình: $\sin \left(\frac{5 \pi}{2}+3 x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-7 x\right)=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{5 x}{2}\right)-2 \cos ^{2} \frac{9 x}{2}$

32. Giải phương trình: $\frac{\sqrt{3}\sin 2x-c\text{os2x}-\text{5sinx +}\left( \text{2}-\sqrt{3} \right)c\text{osx + 3 + }\sqrt{\text{3}}}{2\cos x+\sqrt{3}}=1$

33. Giải phương trình $(1+\sin x)(1-2 \sin x)+2(1+2 \sin x) \cos x=0$.

34. Giải phương trình: $2 \cos \left(\frac{\pi}{3}-2 x\right)+(4+\sqrt{3}) \cos x+3 \sin x+2 \sqrt{3}+1=0$35. Giải phương trình: $2{{\sin }^{2}}x+\sqrt{3}\sin 2x+1=3\left( \cos x+\sqrt{3}\sin x \right)$.

VI. Các bài toán lãi suất:

36. Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lài suất $0,85 \% /$ tháng. Sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hơi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? (tháng cuối có thề trả dưới 10 triệu đồng).

VII. Thể tích khối đa diện:

37. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a,D$ là trung điểm \[BC.\] Biết $\Delta S A D$ là tam giác đều và mặt phằng $(S A D)$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(S A B)$.

38. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$. Gọi $C^{\prime}$ là trung điểm của \[SC\]. Mặt phẳng đi qua $A C^{\prime}$ và song song với$BD$, cắt $SB$ tại $B$ ' và cắt $SD$ tại $D^{\prime} .$ Tinh thể tích khối chóp $S . A B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} .$

39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S A=a$. Gọi $I$ là trung điểm cüa \[SD.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và \[CI.\]

40. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $A B=a, A D=b(a, b>0),$ SA vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ và $S A=2 a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $A M=x$ với $0<x<2 a$.

a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(M B C)$.

b) Xác định $x$ để mặt phẳng $(M B C)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau.

41. Cho hình chóp$S.ABCD$, đáy là hình chữ nhật có $A B=a$ và $B C=2 a$, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy và các mặt phẳng (SBC) và $(S C D)$ cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng $\frac{2 a}{\sqrt{6}}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

b) Tính cô sin góc giữa hai đường thẳng SA và                                 

42. Cho hình chóp đều S.ABCD, có đáy là hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a và tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết tan của góc giữa M N và mặt phẳng (A B C D) bằng $60^{\circ} .$ Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).

43. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$mà khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $b.$Góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp bẳng $\alpha $. Tìm $\alpha $ để thể tích của khối chóp$S.ABCD$ nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

VIII. Nhị thức Newton:

44. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển nhị thức Niu-ton của $\left(\frac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{3}}\right)^{n}$ biết rằng $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)$

45. Tìm hệ số của ${{x}^{15}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+{{x}^{5}} \right)}^{n}},\,\,\,x\ne 0$.

Biết $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=1024$ (với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập $k$ của $n$)

46. Cho $P(x)={{\left( 1+4x+3{{x}^{2}} \right)}^{10}}$. Xác định hệ số ${{x}^{3}}$ trong khai triển $P(x)$ theo lũy thừa của $x$

IX. Giải phương trình và hệ phương trình:

47. Giải phương trình: $(x+1) \sqrt{x^{2}-2 x+3}=x^{2}+1$.

48. Giải phương trình: $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2{{x}^{2}}-x-3$.

49. Giải phương trình: $2 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+5=(4 \mathrm{x}-1) \sqrt{x^{2}+3}$.

50. Giải hệ phương trình:$\text{ }\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

   xy+x+y={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}  \\   \sqrt{x-1}+\sqrt{2y-3}=3  \\ \end{array}\quad (x,y\in \mathbb{R}) \right.\text{ }\text{. }$

Còn nữa…