Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2020 2021

Xem chi tiết dưới đây

Bài $1(5,0$ điểm$)$
Cho dãy số thục $\left(x_{n}\right)$ có $x_{1} \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ và $x_{n+1}=3 x_{n}^{2}-2 n x_{n}^{3}$ vói mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh $\lim x_{n}=0$
b) Với mỗi $n \geq 1$ đật $y_{n}=x_{1}+2 x_{2}+\cdots+n x_{n} .$ Chứng minh rằng dãy $\left(y_{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài $2(5,0$ điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$ f(x) f(y)=f(x y-1)+x f(y)+y f(x) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

Bài $3(5,0$ điểm) Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và $D, E, F$ lần lưọt là chân đường cao hạ từ các đình $A, B, C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E F$ với tâm $I$ và $K, J$ lần lượt là trung điềm $B C, E F$. Cho $H J$ cắt lại $(I)$ tại $G, G K$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh rằng $A L$ vuông góc với $E F$.
b) Cho $A L$ cắt $E F$ tại $M, I M$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $I E F$ tại $N, D N$ cắt $A B, A C$ lần luọt tại $P, Q .$ Chứng minh rằng $P E, Q F, A K$ đồng quy.
Bài $4(5,0$ điểm) Với số nguyên $n \geq 2,$ gọi $s(n)$ là tồng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh $s(n)=\frac{n}{2}(n+1-\varphi(n)),$ trong đ $6 \varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thờa mãn $s(n)=s(n+2021)$.