Đề thi học sinh giỏi môn Toán Sở giáo dục và đào tạo Bà Rịa Vũng Tàu năm 2020 2021

Xem chi tiết dưới đây

Câu $1\left(1,25\right.$ diểm). Giải phương trình $\cos 2 x \sin x+2 \cos ^{3} x=\sin x+2 \cos x$
Câu $2\left(1,25\right.$ điểm). Tìm hệ số của số hạng chúa $x^{9}$ trong khai triền nhị thức Niu-ton của $\left(\frac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{3}}\right)^{n}$ biết rằng $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)$
Câu 3 (1,25 điểm). Cho hinh nón đinh $S$ có đường cao $S O$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ $O$ đến $A B$ bằng $a$ và $\widehat{S A O}=30^{\circ}, \widehat{S A B}=60^{\circ} .$ Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Câu $4(1,25$ điểm). Cho hinh chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$. Gọi $C^{\prime}$ là trung điểm của $S C$. Mặt phẳng đi qua $A C^{\prime}$ và song song với $B D$, cắt $S B$ tại $B$ ' và cắt $S D$ tại $D^{\prime} .$ Tinh thể tích $\mathrm{khối}$ chóp $S . A B^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} D^{\prime} .$
Câu $5\left(1,25\right.$ diểm). Tim tất cả giá tri thục của tham số $m$ đề hàm số $y=\frac{x^{2}+2 x-m}{x-m}$ đồng biến trên khoàng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$

Câu $6\left(1,25\right.$ điểm). Cho hàm số $y=\frac{2}{3} x^{3}+(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+4 m+3\right) x$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của $m$ đề hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ và biều thức $A=x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu $7(1,25$ điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a, S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S A=a$. Gọi $I$ là trung điềm của $S D$. Tính khoảng cách giữa hai đường
thằng $S B$ và $C I$.

Câu $8\left(1,25\right.$ điểm). Cho hình lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a, A A^{\prime}=a$. Hình chiếu cúa đinh $A$ trên mặt phằng $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ trùng với trung điềm của $A^{\prime} B^{\prime} .$ Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime} B$ và $A C^{\prime} .$ Tính $\cos \varphi .$ Câu $9\left(1,25\right.$ diểm). Cho hai số thực $x, y$ khác $0,$ biết $\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)^{\frac{1}{y}}=\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)^{y-2}=\left(y^{2}+1\right)^{x}$. Tính giá trị của biều thúc $P=2^{x}-2^{-x}-2 x+2^{y}-2^{-y}-2 y$.

Câu $9(1,25$ diểm $) .$ Cho hai số thực $x, y$ khác $0,$ biết $\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)^{\frac{1}{y}}=\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)^{y-2}=\left(y^{2}+1\right)^{x}$ Tính giá trị của biều thức $P=2^{x}-2^{-x}-2 x+2^{y}-2^{-y}-2 y$ Câu $10\left(1,25\right.$ điểm). Giải phương trình $\log _{4} x^{2}+\log _{2}(5-x)=\log _{8}(3 x+1)^{3}$.
Câu $11\left(1,25\right.$ diểm). Cho hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}+1$ có đồ thị $(C),$ đường thằng $(d): y=m x+1$ và điểm $K(3 ; 10)$. Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho $(C)$ và $(d)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ trong đó $A(0 ; 1)$ và trọng tâm của tam giác $K B C$ nằm trên đường thẳng $y=2 x+3$.

Câu $12(1,25$ diẻm $) .$ Tim tất cả giá tri thục cùa $m$ dể hàm số $y=2 \ln (x+1)-(m+1) \ln (2-x)-m^{2} x$ dạt cục tiều tại điểm $x=1$.

Câu $14(1,25$ diể $m$ ). Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hơp $\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 100\}$ gồm 100 số nguyên dưong đầu tiên. Tính xác suất chọn đựợc ba số là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Câu $15\left(1,25\right.$ điểm). Cho khối lăng tru $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có $A B=A C=a, B C=a \sqrt{3}$. Các đường thẳng $B B^{\prime}, B A^{\prime}, C A^{\prime}$ cùng tạo với mặt phẳng $(A B C)$ một góc $60^{\circ} .$ Điểm $M$ nằm trên cạnh $A A^{\prime} .$ Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với $(A B C)$ lần lượt cắt các đoạn thẳng $A B^{\prime}, B C^{\prime}, C A^{\prime}$ tại các điểm $D, E, F .$ Biết rằng thể tích khối tứ diện $A^{\prime} D E F$ bằng $\frac{1}{18} a^{3},$ hãy tính tỉ số $\frac{M A}{M A^{\prime}}$

Câu 16(1,25 điểm ). Xét ba số thục durong $a, b, c$ thay đổi. Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$ P=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}+\frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}$