Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT  Sở giáo dục đào tạo Hải Dương năm 2020 2021

Xem chi tiết dưới đây

Câu I (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{4}-(m+1) x^{2}+1$ có ba diểm cực tri tạo thành một tam giác có ba góc nhọn.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3} x^{3}-(m-1) x^{2}-(m+3) x+m^{2}-1$ nghịch biến trên khoảng $(-1 ; 0)$

Câu II $(2,0$ điểm)
1. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x y(x y-1)^{2}+x^{2} y^{2}=(x+1)\left(x^{2}+x+1\right) \\ 2 x+x y \sqrt{x^{2} y^{2}+2}+(x y+1) \sqrt{x^{2}+4 x+6}+3=0\end{array}\right.$
2. Xác định các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:
$5 \sqrt{x-1}+m \sqrt{x+1}-2 \sqrt[4]{x^{2}-1}=0$

Câu III ( 2,0 điểm)
1. Kết thúc đợt Hội học chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, lớp 12A có 10 bạn được trao thưởng trong đó có An và Bình. Phần thưởng để trao cho 10 bạn gồm 5 quyển sách Hóa, 7 quyển sách Toán, 8 quyển sách Tiếng Anh (trong đó các quyển sách cùng môn là giống nhau). Mỗi bạn sẽ được nhận 2 quyền sách khác loại. Tìm xác suất để An và Bình có phần thưởng giống nhau.
2. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ cho tam giác $A B C$ có $B(-1 ; 4) .$ Gọi $D, E(-1 ; 2)$ lần lươt là chân đường cao kẻ từ $A, B$ và $M$ là trung diểm của đoạn thẳng $A B .$ Biết $I\left(-\frac{3}{2} ; \frac{7}{2}\right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $D E M$. Tìm tọa độ đỉnh $C$ của tam giác $A B C$.

Câu IV $(3,0$ điểm)
1. Cho hình chóp $S.A BCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và góc $\widehat{B A D}=120^{\circ}$.
a) Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ biết $S A=S B=S C$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S C D)$ bằng $\frac{3 a}{4}$
b) Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ biết góc giữa 2 mặt phằng $(ABC),(SBC)$ bằng $45^{\circ}$ và tam giác
$S A B$ vuông cân tại $A$.

2. Cho hình lăng trụ đứng $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime},$ dáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$. Gọi $N$ là trung điềm của $D D^{\prime}, M$ nằm trên cạnh $B B^{\prime}$ sao cho $M B^{\prime}=2 M B, P$ là giao điểm của $C C^{\prime}$ và $(A M N) .$ Biết rằng góc $\widehat{A B C}=\varphi$ và $A A^{\prime}=a .$ Tim $\cos \varphi$ để góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime} P$ và $A N$ bằng $45^{\circ}$.

Câu $\mathrm{V}(1,0$ điểm $)$ Cho $x, y, z$ là các số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn
$\frac{4(3 x+1)+6(y+z)}{[2(x+y)+x+z+1][2(x+z)+x+y+1]}-x(y+z)=x^{2}+y z$.
Tim giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{2(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}-16}{2 x^{2}+y^{2}+z^{2}}$