Đề ôn tập số 06 học sinh giỏi môn Toán THPT năm 2020 2021 thầy Đắc Tuấn

Xem chi tiết dưới đây

Câu 1: (4,0 diểm)
a) Cho hàm số $y=\frac{1}{x}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ và điểm $I\left(-\frac{5}{6} ; \frac{5}{4}\right) .$ Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I$ và cắt $(C)$ tại hai điểm $M, N$ sao cho $I$ là trung điểm của $M N$.
b) Tìm m để đường thẳng $(d): y=x+1$ cắt đồ thị $(P): y=x^{2}-2 x+m+1$ tại 2 điểm phân biệt $M, N$ sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $O M N$ bằng $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ với $O(0 ; 0)$
Câu
2: $(4,0$ điểm)
a) Giải phương trình: $\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3} \cos x-\sin x-3=0$
b) Giải phương trình: $\left(x^{2}-8 x+12\right) \sqrt{x-3}+2 x-9=0$.

Câu 3: (4,0 diểm)
a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}x+\sqrt{x^{2}+2 x+2}=\sqrt{y^{2}+1}-y-1 \\ x^{3}-\left(3 x^{2}+2 y^{2}-6\right) \sqrt{2 x^{2}-y-2}=0\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$
b) Cho sáu thẻ, mỗi the ghi một trong các số của tập $E=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8\}$ (các the khác nhau ghi các $s \hat{o}$ khác nhau ). Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù.

Câu 4: (3,0 diểm) Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$, góc $B A D=60^{\circ}$. SA vuông góc với đáy. Góc giữa $S C$ và đáy bằng $60^{\circ} .$ Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $S B$ và $\mathrm{AC}$ theo a

Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy,
cạnh bên $S C$ tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc $60^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $S C$.
a) Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $A M$ và song song với $B D .$ Tính diện tích thiết diện của $(P)$ với hình chóp $S . A B C D$
b) Mặt phẳng $(P)$ chia hình chóp $S . A B C D$ thành hai phần, tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
Câu $6:(2,0$ điể $) .$ Cho $\left\{\begin{array}{l}a, b, c, d>0 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\end{array} .\right.$ Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2}$