Đề ôn tập số 05 học sinh giỏi môn Toán THPT năm 2020 2021 thầy Đắc Tuấn

Xem chi tiết và tải về dưới đây

Câu 1: (4,0 diểm)
a) Tìm tham số $m$ để hàm số $y=x^{3}+3 m x^{2}+3(m+1) x+2$ nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 .
b) Chứng minh rằng với mọi $a$, đường thẳng $d: y=x+a$ luôn cắt đồ thị hàm số $y=\frac{-x+1}{2 x-1}(H)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Gọi $k_{1}, k_{2}$ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với $(H)$ tại $A$ và $B$. Tìm $a$ để tổng $k_{1}+k_{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: $2 \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \sin x \cos x+1=3(\sin x+\sqrt{3} \cos x)$
b) Giải phương trình: $\left(x^{2}+2\right) \sqrt{x^{2}+x+1}+x^{3}-3 x^{2}-5 x+2=0$
Câu 3: $(4,0$ điểm)
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^{3}-y^{3}-3 x^{2}+6 y^{2}=-6 x+15 y-10 \\ y \sqrt{x+3}+(y+6) \sqrt{x+10}=y^{2}+4 x\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số $\overline{a b c}$ thỏa mãn điều kiện $a \leq b \leq c$.
Câu 4: $(3,0$ điểm) Cho hình chóp $S . A B C D,$ đáy $A B C D$ là hình chữ nhật có $A B=3, B C=6,$ mặt phẳng $(S A B)$ vuông góc với đáy, các mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ cùng tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$ bằng $\sqrt{6}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ và cosin góc giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$.

Câu 5: $\left(3,0\right.$ diểm) Cho hình hộp đứng $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có các cạnh $A B=A D=2, A A_{1}=\sqrt{3}$ và góc
$B A D=60^{\circ}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A_{1} D_{1}$ và $A_{1} B_{1}$
a) Chứng minh rằng $A C_{1}$ vuông góc với mặt phẳng $(B D M N)$.
b) Tính thể tích khối chóp $A \cdot B D M N$.
Câu 6: $(2,0$ diểm) Cho các số thục $a, b, c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6 .$ Chứng minh rằng:
$$
\left(a^{2}+2\right)\left(b^{2}+2\right)\left(c^{2}+2\right) \leq 216
$$