Đề ôn tập học sinh giỏi môn Toán THPT năm 2020 2021 thầy Đắc Tuấn

Xem chi tiết dưới đây

SỞ GD VÀ ĐT THỪA THIÊN HUẾ                 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021

    TRƯỜNG THPT VINH LỘC                              Môn: Toán. Thời gian: 180 phút

                      ĐỀ SỐ 05                                                           (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hàm số $y=\frac{x}{x-2}$ có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M  cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B  phân biệt thoả mãn: $\sqrt{5}AB=2OA+OB$.

2. Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(H)$, điểm $A(-4;-1)$ và đường thẳng $(d):y=-x+m$ (với $m$ là tham số). Gọi $B,C$ là giao điểm của $(d)$ và $(H)$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân tại $A$ với mọi $m\ne -5$. Tìm các giá trị của $m$ để tam giác $ABC$ đều.

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: $4c\text{os}\left( \frac{3x+2\pi }{6} \right)\text{cos}\left( \frac{3x-2\pi }{6} \right)=\sqrt{3}\sin x\left( \cos 2x+\cos x \right)\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)\,\,\,\,\,\,(1)$

2. Tìm nghiệm dương của phương trình: $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:   $\left\{ \begin{align}& \frac{1}{y\sqrt{y}}+\frac{3}{y}+\frac{4}{\sqrt{y}}+2=\left( 2x+4 \right)\sqrt{2x+3} \\ & 3+5y=4y\sqrt{2x+3} \\ \end{align} \right..$

2. Đội thanh niên xung kích của một trường THPT có 12 học sinh, gồm 5 học sinh khối 10, 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 12. Tính xác suất để chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá hai trong ba khối lớp trên.

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn $SA=\sqrt{5},SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính thể tích khối chóp $S.MCD$và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM,CD$.

Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ tâm O , $SA$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ và mặt bên $\left( SCD \right)$ tạo với mặt đáy một góc $30{}^\circ .$ Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ và  khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CM$.

Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số $x,y,z>0$ thỏa mãn$xyz=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:      

$P=\frac{1}{{{x}^{2}}+2}+\frac{1}{{{y}^{2}}+2}+\frac{1}{{{z}^{2}}+2}$ .

---HẾT---